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Regelungstechnik - LAPLACE-Rücktransformation

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LAPLACE-Rücktransformation

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Um nun wieder die Zeitfunktion  ermitteln zu können, verwenden wir ausgehend von der LAPLACE-Transformation  eine komplexe Umkehrformel, die LAPLACE-Rücktransformation. Die LAPLACE-Rücktransformation wird formal beschrieben durch:

Methode

LAPLACE-Rücktransformation:       

Achte bei der Rücktransformation darauf, dass Du den geschlossenen Integrationsweg in der komplexen Zahlenebene um alle Polstellen der LAPLACE-Transformierten führst.

Als Polstellen der LAPLACE-Transformierten bezeichnet man alle Werte von s, bei denen der Nenner von die Null sind. 


Bei der LAPLACE-Rücktransformation kommt der Residuensatz zum Einsatz. Dies äußert sich in Bezug auf die vorherige Gleichung in der formalen Schreibweise, wie folgt:

Methode

LAPLACE-Rücktransformation mit Residuensatz: 

 
Die Zeitfunktion entspricht dabei der Summe aller Residuen an allen Polstellen von . Die formale Schreibweise für ein Residuum einer k-fachen Polstelle ist:

Methode

Residuum: 

Anwendungsbeispiel:

Beispiel

Dies auf den ersten Blick nicht gerade einfache Vorgehen möchten wir Dir anhand der nachfolgenden Beispiele für eine einfache, dreifache und k-fache Polstelle näherbringen.


1. einfache Polstelle

Methode

LAPLACE-transformierte Funktion:        mit und


Die zugehörige Zeitfunktion hat dann die Form:

Methode

Zeitfunktion: . 

2. dreifache Polstelle

Methode

LAPLACE-transformierte Funktion bei      mit und


Die zugehörige Zeitfunktion ist dabei:

Methode

Zeitfunktion: 


3. k-fache Polstelle

Methode

LAPLACE-transformierte Funktion:       mit und


Die zugehörige Zeitfunktion ist:

Methode

Zeitfunktion: .

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