LAPLACE-Transformation

Im vorherigen Kurstext hast Du bereits die komplexe Bildvariable kennengelernt. Sie ist besonders wichtig für die LAPLACE-Transformation, weil mit ihr erreicht wird, dass das im Folgenden angegebene Integral konvertiert und somit für die wichtigen Funktionen in der Regelungstechnik berechenbar wird. Aus Konvergenzgründen existiert die Transformation nur für .

LAPLACE-Transformation:

Wir werden im Folgenden mit dem LAPLACE-Integral rechnen. Dieses ist formal definiert durch:

Vorgegebene Zeitfunktion
LAPLACE-Transformierte der vorgegebenen Funktion
Zeichen für die LAPLACE-Transformation vom Zeitbereich in den Frequenzbereich
Zeichen für die LAPLACE-Rücktransformation 

Beispiele

1. Sprungfunktion:

Gegeben sei die folgende Sprungfunktion:

Nach der LAPLACE-Transformation sieht die Gleichung wie folgt aus:

2. Anstiegsfunktion:

Es sei die folgende Anstiegsfunktion gegeben:

Hier erfolgt die Lösung des Integrals während der LAPLACE-Transformation durch Produktintegration. Die Produktintegration wird wie folgt vorgenommen:

Es wird nun also zunächst die Laplace-Transformationsformel angewandt:

Danach folgt die Produktintegration mit: und :