Stromfunktion

In dem hier betrachteten speziellen Fall von ebenen Strömungen, kann man das Geschwindigkeitsfeld in Form einer Stromfunktion angeben. Zunächst lässt sich das Geschwindigkeitsfeld bzw. der Geschwindigkeitsvektor schreiben als:

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Die Bestimmung der Geschwindigkeitskomponenten und aus der Stromfunktion können wie folgt bestimmt werden:

Die Kontinuitätsgleichung lässt sich dann schreiben als:

Dabei ist die Stromfunktion. Diese wird durch Stromlinien dargestellt, d.h. Linien, die in jedem Punkt tangential zum Geschwindigkeitsvektor liegen. Die Stromlinien lassen sich als Höhenlinien der Stromfunktion darstellen. Um eine mögliche Stromfunktion nachweisen zu können, kann man diese zunächst nach und nach ableiten, um die Geschwindigkeitskomponenten und (Beachtung des Minuszeichens) zu erhalten. Danach muss man die Komponente nach und nach ableiten. Ergibt die Addition der beiden Ergebnisse dann null (siehe Kontinuitätsgleichung), so liegt eine mögliche Stromfunktion vor.

In der obigen Grafik ist eine Stromlinie gegeben. In einem beliebigen Punkt wird der Geschwindigkeitsvektor gezeigt, welcher die Stromlinie in diesem Punkt tangiert. Dieser Geschwindigkeitsvektor kann in die zwei Komponenten (ebene) und aufgeteilt werden. Den Winkel des Geschwindigkeitsvektors (also der Tangente an die Stromlinie in dem betrachteten Punkt) zur Horizontalkomponente kann man mittels Tangens bestimmen:

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Die Bildung des totalen Differentials der Stromfunktion zu einem festen Zeitpunkt ergibt dann die Gleichung:

Nach einsetzen von und  ergibt sich dann:

Die Linien mit konstanten Werten und daher werden Stromlinien genannt. 

Volumenstrom zwischen zwei Stromlinien

Um den Volumenstrom zwischen zwei Stromlinien angeben zu können, bedient man sich der folgenden Gleichung:

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Der Volumenstrom pro Breite ergibt sich dann durch:

Im nachfolgenden Abschnitt wird ein ausführliches Beispiel zum Nachweis der Stromfunktion, zur Bestimmung des Geschwindigkeitsvektors allgemein und in einem Punkt der Stromfunktion sowie der Bestimmung des Volumenstroms aufgezeigt. Die Ergebnisse werden grafisch visualisiert.