Inhaltsverzeichnis
Beispiel
Gegeben sei die folgende Stromfunktion
(a) Weisen Sie nach, dass es sich bei der oben angegebenen Funktion um eine Stromfunktion handelt!
(b) Berechnen Sie die Stromfunktion durch die Punkte
(c) Berechnen Sie die Tangenten bzw. Geschwindigkeitsvektoren und die zeichnen Sie diese für die obigen Punkte ein!
(d) Wie groß ist der Winkel
(e) Berechnen Sie den Volumenstrom je Breiteneinheit zwischen den Stromlinien der oben genannten Punkte.
(a) Nachweis der Stromfunktion
Um den Nachweis für die Stromfunktion zu erbringen, müssen zunächst die Geschwindigkeitskomponenten bestimmt werden mit:
Zunächst wird die Komponente
Zur Bestimmung der Komponente
Als nächstes muss die Kontinuitätsgleichung erfüllt sein:
Hierfür muss die Komonente
Die Addition der abgeleiteten Komponenten muss null ergeben:
Die Kontinuitätsgleichung ist erfüllt und damit ist diese Funktion eine mögliche Stromfunktion.
(b) Stromfunktion für festgelegte Punkte
Die Punkte werden in die Stromfunktion eingesetzt:
Es handelt sich hierbei um zwei unterschiedliche Stromfunktionen, da zwei unterschiedliche Werte resultieren. Das bedeutet also, dass die Punkte auf unterschiedlichen Stromlinien liegen. In der unteren Grafik sind die beiden Stromlinien und die beiden Punkte eingezeichnet. Man sieht deutlich, dass die beiden Punkte auf unterschiedlichen Stromlinien liegen. Man kann sich die Stromlinien wie Höhenlinien vorstellen, d.h. also man hat eine Draufsicht von oben auf die Stromfunktion. Man sieht auch ganz deutlich, dass sich die Stromlinien nicht schneiden. Sie nähern sich immer weiter aneinander an, aber schneiden sich nicht.
(c) Tangenten = Geschwindigkeitsvektoren
Die Tangenten in jedem Punkt der Stromlinien stellen die Geschwindigkeitsvektoren dar. Die Tangenten lassen sich durch die Geschwindigkeitskomponenten ausdrücken:
Der Geschwindigkeitsvektor ist demnach:
In diesem Beispiel:
Das ist der Geschwindigkeitsvektor (Tangentenvektor) für die in diesem Beispiel angegebene Stromfunktion. Um nun den Geschwindigkeitsvektor in einem Punkt zu erhalten, muss dieser berücksichtigt werden.
Das bedeutet also, dass der Geschwindigkeitsvektor vom Ursprung auf den Punkt
Für den zweiten Punkt
Das bedeutet also, dass der Geschwindigkeitsvektor vom Ursprung auf den Punkt
Es ist deutlich zu erkennen, dass die Geschwindigkeitsvektoren die Stromlinien in den betrachteten Punkten tangieren.
Dieses Vorgehen sollte aus der Vorlesung bzw. unserem Kurs "Höhere Mathematik 2: Tangentenvektor" bekannt sein.
(d) Richtung des Geschwindigkeitsvektors
Die Richtung des Geschwindigkeitsvektors zur Horizontalkomponente
Aufgelöst nach
Die Komponenten wurden oben berechnet und lauten:
Im Punkt (1,1) gilt demnach:
Einsetzen ergibt:
In der obigen Grafik ist der Geschwindigkeitsvektor (Tangente) im Punkt (1,1) an den Stromlinien
Das Minuszeichen vor dem Winkel resultiert daraus, dass der Winkel von der positiven
360° - 33,7 = 326,3°.
Alternativ kann man auch den Winkel zur Komponente
oder durch
(e) Volumenstrom pro Breiteneinheit
Der Volumenstrom pro Breiteneinheit zwischen den zwei Stromlinien berechnet sich durch:
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