Inhaltsverzeichnis
- Arbeitszufuhr der Pumpe
- Förderhöhe der Pumpe
- Druckerhöhung innerhalb der Pumpe
- Berücksichtigung der Pumpenleistung
- Wirkungsgrad der Pumpe
- Beispiel: Pumpen bei reibungsbehafteten Strömungen
- (a) Verlusthöhe
- Einzelverluste
- Geschwindigkeit
- Rohrreibungszahl
- (b) Leistungsaufnahme der Pumpe
- (c) Überdruck vor und hinter der Pumpe
In diesem Abschnitt werden nun Rohrleitungen mit Pumpen für reibungsbehaftete Strömungen betrachtet. Das bedeutet, dass der Verlustterm hier berücksichtigt werden muss.
Arbeitszufuhr der Pumpe
Wie im vorherigen Kapitel bereits gezeigt, ergibt sich die Nutzarbeit der Pumpe aus der Bernoullischen Energiegleichung. Fließt eine Strömung von
Methode
mit
Dabei wird in der Energiegleichung der Verlustterm
Förderhöhe der Pumpe
Die Förderhöhe der Pumpe kann mittels der Bernoullischen Höhengleichung bestimmt werden. Es wird wieder eine Strömung von
Methode
Dabei wird bei der Höhengleichung der Verlustterm
Druckerhöhung innerhalb der Pumpe
Um den Förderdruck der Pumpe bestimmen zu können, wird die Bernoullische Druckgleichung herangezogen. Es wird wieder die Strömung von
Methode
Dabei wird bei der Druckgleichung der Verlustterm
Berücksichtigung der Pumpenleistung
Man kann das Ganze auch mittels Pumpenleistung ausdrücken. Allgemein gilt:
Dabei soll in diesem Fall
Da eine Arbeitszufuhr
Für die Energiegleichung gilt dann:
Methode
Für die Höhengleichung gilt (
Methode
Für die Druckgleichung gilt (
Methode
Wirkungsgrad der Pumpe
Der Wirkungsgrad der Pumpe ergibt sich zu:
Methode
Beispiel: Pumpen bei reibungsbehafteten Strömungen
Beispiel
Gegeben sei die obige Grafik, in welcher eine Pumpe Wasser
(a) Es sollen
(b) Welche Leistungsaufnahme muss die Pumpe mindestens haben, wenn der Wirkungsgrad
(c) Wie groß ist der Überdruck im Rohr direkt vor und direkt hinter der Pumpe?
(a) Verlusthöhe
Die Verlusthöhe ist der Verlustterm der Bernoullischen Höhengleichung:
Einzelverluste
Die Verlustbeiwerte
Geschwindigkeit
Als nächstes muss die Geschwindigkeit bestimmt werden, welche sich aus dem Volumenstrom berechnen lässt. Es sollen
Umgerechnet auf
Es kann nun die Geschwindigkeit
Es muss der Querschnitt des Rohrs herangezogen werden, da der Punkt
Die Geschwindigkeit
Rohrreibungszahl
Als nächstes muss die Rohrreibungszahl
und die Wandrauigkeit mit
Da hier der Durchmesser
Die Reynolds-Zahl ergibt sich zu:
In der Aufgabenstellung ist eine kritische Reynolds-Zahl von
Merke
Liegt die ermittelte Reynolds-Zahl unterhalb der kritischen Reynolds-Zahl, so handelt es sich um eine stationäre Strömung. Hier kann die Rohrreibungszahl ganz einfach (ohne Moody-Diagramm) mit der Formel
Nachdem nun die Reynolds-Zahl
Aus der Grafik kann man dann die Rohrreibungszahl ablesen. Diese liegt bei ungefähr:
Es sind nun alle Werte gegeben, um die Verlusthöhe zu bestimmen:
(b) Leistungsaufnahme der Pumpe
Um herauszufinden, wie hoch die Leistungsaufnahme der Pumpe bei einem Wirkungsgrad von 0,6 sein muss, muss zunächst die Leistungsabgabe der Pumpe bestimmt werden. Denn wenn die Höhe der Leistungsabgabe bekannt ist, dann kann man mittels des Wirkungsgrades die Leistungsaufnahme der Pumpe bestimmen.
Die Leistungsabgabe
Zunächst werden alle bekannten Werte eingesetzt.
Da der Behälter offen ist, gilt für
Eingesetzt und gekürzt ergibt sich:
Es fehlen noch die Geschwindigkeiten
Für die Geschwindigkeit
Die Geschwindigkeit
Es fehlt zuletzt noch der Massenstrom
Auch diesen einsetzen in die Gleichung:
Auflösen der Gleichung nach der Pumpenleistung:
Die Leistung der Pumpe beträgt also 1.900 Watt.
Es soll nun die Leistungsaufnahme der Pumpe berechnet werden, wobei ein Wirkungsgrad von 0,6 gegegeben ist. Das bedeutet ganz einfach, dass nur 60% der Leistungsaufnahme der Pumpe (zugeführte Leistung) tatsächlich von der Pumpe an das Fluid abgegeben werden. Berechnet wird dies durch:
Der Pumpe müssen also mindestens 3.166,67 Watt zugeführt werden, damit am Ende eine Leistungsabgabe von den berechneten 1.900 Watt resultiert. Bei einem höheren Wirkungsgrad muss der Pumpe weniger zugeführt werden, bei einem geringeren Wirkungsgrad muss der Pumpe mehr Watt zugeführt werden.
(c) Überdruck vor und hinter der Pumpe
Zunächst einmal muss geklärt werden, wie man einen Überdruck berechnet. Der Überdruck berechnet sich im Punkt
Der Überdruck berechnet sich durch
Einsetzen der Werte:
Es gilt wieder
Da der Rohrquerschnitt
Es gilt
Die Verlusthöhe
Die Drücke müssen hier nicht berücksichtigt werden, da der Überdruck
Es wird als nächstes der Druck hinter der Pumpe berechnet. Hierbei muss nun der Punkt
Merke
Es ist nun WICHTIG, dass hierbei die bernoullische Druckgleichung herangezogen wird, da nun angenommen wird, dass die Drücke alleine stehen. Denn nur so nimmt man den richtigen Pumpenterm.
Der Überdruck direkt hinter der Pumpe beträgt also 248.652,59 Pascal.
Man kann zur Berechnung auch statt der Druckgleichung z.B. die Höhengleichung heranziehen. Da hier der Pumpenterm aber ein wenig anders aussieht, muss man auch den Term der Drücke aus dieser Höhengleichung übernehmen:
Nach Auflösung nach
Merke
Bei einem Unterdruck rechnet man den Atmosphärendruck abzüglich dem Druck im betrachteten Punkt. In diesem Beispiel wäre das also
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