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Pumpen erhöhen die Arbeitsfähigkeit des strömenden Fluids, weshalb diese innerhalb der Bernoulli-Gleichungen berücksichtigt werden müssen. In diesem Abschnitt wird von einer reibungsfreien Strömung ausgegangen, weshalb der Verlustterm nicht berücksichtigt werden muss.
Arbeitszufuhr innerhalb der Pumpe
Der Pumpenterm wird zunächst für die Bernoullische Energiegleichung berücksichtigt. Innerhalb der Pumpe findet eine Arbeitszufuhr
Methode
statt, die berücksichtigt werden muss. Diese wird auch oft als spezifische Stutzenarbeit
Es wird nun die Pumpe innerhalb der Bernoulli-Energiegleichung berücksichtigt. Befindet sich die Pumpe zwischen
Methode
mit
Förderhöhe der Pumpe
Wird die Bernoullische Höhengleichung herangezogen, so ist der Pumpenterm
Methode
zu berücksichtigen. Dabei ist
Fließt also eine Strömung von
Methode
Druckerhöhung innerhalb der Pumpe
Innerhalb der Bernoullischen Druckgleichung muss nur die Druckerhöhung
Methode
Berücksichtigung der Pumpenleistung
Man kann das Ganze auch mittels Pumpenleistung ausdrücken. Allgemein gilt:
Dabei soll in diesem Fall
Da eine Arbeitszufuhr
Für die Energiegleichung gilt dann:
Methode
Für die Höhengleichung gilt (
Methode
Für die Druckgleichung gilt (
Methode
Wirkungsgrad der Pumpe
Der Wirkungsgrad der Pumpe ergibt sich zu:
Methode
Beispiel: Pumpen bei reibungsfreien Strömungen
Beispiel
Gegeben sei die obige Grafik, in welcher eine Pumpe Wasser
(a) Welche Leistungsaufnahme muss die Pumpe mindestens haben, wenn der Wirkungsgrad
(b) Wie groß ist der Überdruck im Rohr direkt vor und direkt hinter der Pumpe?
(a) Leistungsaufnahme der Pumpe
Um herauszufinden, wie hoch die Leistungsaufnahme der Pumpe bei einem Wirkungsgrad von 0,6 sein muss, muss zunächst die Leistungsabgabe der Pumpe bestimmt werden. Denn wenn die Höhe der Leistungsabgabe bekannt ist, dann kann man mittels des Wirkungsgrades die Leistungsaufnahme der Pumpe bestimmen.
Die Leistungsabgabe
Zunächst werden alle bekannten Werte eingesetzt:
Da der Behälter offen ist, gilt für
Eingesetzt ergibt:
Kürzen ergibt:
Es fehlen noch die Geschwindigkeiten
Für die Geschwindigkeit
Die Geschwindigkeit
In diesem Fall ist der Punkt
Die Geschwindigkeit ergibt sich mit (Umrechnen des Volumenstroms in
Diese beiden Werte können nun eingesetzt werden:
Es fehlt zuletzt noch der Massenstrom
Auch diesen einsetzen in die Gleichung:
Auflösen der Gleichung nach der Pumpenleistung:
Die Leistung der Pumpe beträgt also 1.855 Watt.
Es soll nun die Leistungsaufnahme der Pumpe berechnet werden, wobei ein Wirkungsgrad von 0,6 gegeben ist. Das bedeutet ganz einfach, dass nur 60% der Leistungsaufnahme der Pumpe (zugeführte Leistung) tatsächlich von der Pumpe an das Fluid abgegeben werden. Berechnet wird dies durch:
Der Pumpe müssen also mindestens 3.091,67 Watt zugeführt werden, damit am Ende eine Leistungsabgabe von den berechneten 1.855 Watt erreicht werden kann. Bei einem höheren Wirkungsgrad muss der Pumpe weniger zugeführt werden, bei einem geringeren Wirkungsgrad muss der Pumpe mehr Watt zugeführt werden.
(b) Überdruck vor und hinter der Pumpe
Zunächst einmal muss geklärt werden, wie man einen Überdruck berechnet. Der Überdruck berechnet sich im Punkt
Der Überdruck berechnet sich durch
Einsetzen der Werte:
Es gilt wieder
Da der Rohrquerschnitt
Es gilt
Die Drücke müssen hier nicht berücksichtigt werden, da der Überdruck
Es wird als nächstes der Druck hinter der Pumpe berechnet. Hierbei muss nun der Punkt
Merke
Es ist nun WICHTIG, dass hierbei die Bernoullische Druckgleichung herangezogen wird, da nun angenommen wird, dass die Drücke alleine stehen. Denn nur so nimmt man den richtigen Pumpenterm.
Der Überdruck nach der Pumpe beträgt also 245.242,15 Pascal.
Man kann zur Berechnung auch statt der Druckgleichung z.B. die Höhengleichung heranziehen. Da hier der Pumpenterm aber ein wenig anders aussieht, muss man auch den Term der Drücke aus dieser Höhengleichung übernehmen:
Nach Auflösung nach
Merke
Bei einem Unterdruck rechnet man den Atmosphärendruck abzüglich dem Druck im betrachteten Punkt. In diesem Beispiel wäre das
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