Inhaltsverzeichnis
- Beispiel: Druckkräfte auf eben geneigte rechteckige Flächen
- Berechnung der Horizontalkraft
- Wirkungslinie der Horizontalkraft
- Druckmittelpunkt
- Vergleich der Wirkungslinien der Horizontalkraft
- Berechnung der Vertikalkraft
- Resultierende und Wirkungslinie
- Alternative Berechnung (Klausurtipp)
- Videos: Berechnung der Druckkräfte auf eben geneigte Flächen
Es wurde bereits in den vorherigen Abschnitten gezeigt, wie sich die Horizontal- und Vertikalkräfte bestimmen, wenn es sich um rechteckige ebene Flächen handelt. In diesem Abschnitt sollen die Druckkräfte auf eben geneigte rechteckige Flächen betrachtet werden. Bei eben geneigten rechteckigen Flächen verläuft
- die Wirkungslinie der Horizontalkraft durch den Druckmittelpunkt,
- die Wirkungslinie der Vertikalkraft durch den Schwerpunkt des Wasservolumens oberhalb der eben geneigten rechteckigen Wand,
- die Wirkungslinie der Resultierenden durch den Druckmittelpunkt.
Merke
Bei rechteckigen eben geneigten Flächen fällt der Schwerpunkt der Dreieckslast und der Druckmittelpunkt zusammen.
Die resultierende Druckkraft steht immer senkrecht (im 90°-Winkel) auf der betrachteten Fläche. Die Wirkungslinie dieser Resultierenden schneidet die betrachtete eben geneigte Fläche im Druckmittelpunkt
Beispiel: Druckkräfte auf eben geneigte rechteckige Flächen
Beispiel
Betrachtet wird obiges rechteckiges Wasserbecken, welches auf der rechten Seite eine eben geneigte Wand (rote Linie) aufweist. Das Wasserbecken ist 3 m hoch, 6 m lang und 0,5 m breit. Wie groß sind die Vertikal- und Horizontalkräfte, die auf die geneigte Wand wirken? Wo liegt der Druckmittelpunkt? Es soll außerdem die Resultierende und ihre Wirkungslinie berechnet werden.
Berechnung der Horizontalkraft
Die Horizontalkraft (in
Methode
Die Horizontalkraft wirkt waagerecht auf die betrachtete Fläche. Mit zunehmender Tiefe nimmt diese linear zu, d.h. es ergibt sich eine Dreieckslast (siehe untere dreidimensionale Grafik).
Die projizierte Fläche
Bei einem Rechteck liegt der Flächenschwerpunkt in der Mitte.
Methode
Da die Horizontalkraft in
Methode
Wirkungslinie der Horizontalkraft
Die Frage ist nun, wo die Horizontalkraft angreift? Im Abschnitt Horizontalkraft war das bei 2/3 der Höhe, nämlich im Schwerpunkt der Dreiecklast (nicht der projizierten Fläche). Das ist auch in diesem Beispiel der Fall, da die Dreieckslast auf eine rechteckige eben geneigte Fläche wirkt. Wirkt diese hingegen NICHT auf eine rechteckige Fläche, muss der Druckmittelpunkt bestimmt werden, da die Horizontalkraft (wie auch die Resultierende) durch diesen Druckmittelpunkt verläuft.
Da es sich bei der schrägen Wand um eine rechteckige Fläche handelt, kann man sofort die Wirkungslinie der Kraft
Druckmittelpunkt
Es soll im Weiteren gezeigt werden, dass die Horizontalkraft durch den Druckmittelpunkt geht. Die Berechnung des Druckmittelpunktes ist wichtig, um die Wirkungslinie der Horizontalkraft und der Resultierenden zu bestimmen, wenn keine rechteckige Fläche gegeben ist.
Dies geschieht, indem man ein Koordinatensystem einführt, wobei eine Achse parallel zur schrägen Wand liegt (hier:
In der obigen Grafik kann man die schräge Seite berechnen, indem man eine vertikale Seite hinzufügt. Man hat dann das obige Dreieck gegeben (Ankathete und Gegenkathete blau, Hypotenuse rot). Mittels Winkelberechnung kann man nun die Hypotenuse berechnen:
Da nun die schräge Seite berechnet worden ist, sind nun alle Seiten der rechteckigen Fläche bekannt.
Es kann nun mittels der folgenden Formel der Druckmittelpunkt für den Abstand auf der
Methode
mit
Methode
mit
Beide Achsen liegen im Schwerpunkt der Fläche. Mit den obigen Formel ergeben sich dann also die Abstände vom Schwerpunkt zum Druckmittelpunkt in
Merke
Da die beiden Achsen durch den Schwerpunkt der rechteckigen Fläche (Schwerpunkt liegt beim Rechteck immer mittig) verlaufen, stellen beide Achsen Symmetrieachsen dar. Ist mindestens eine Achse auch gleichzeitig eine Symmetrieachse, so wird das Deviationsmoment
Es ergibt sich somit
Es existiert also kein Abstand vom Schwerpunkt aus in Richtung
Es geht nun an die Berechnung:
mit
Merke
Das Flächenträgheitsmoment bezüglich der
Eingesetzt in die Formel ergibt:
Der Abstand vom Schwerpunkt zum Druckmittelpunkt in positive
Man muss hier beachten, dass der schräge Abstand berechnet worden ist. Für den Abstand von Schwerpunkt zum Druckmittelpunkt bezüglich der
Hier existiert kein Abstand in
Der Druckmittelpunkt ist in der nachfolgenden Grafik veranschaulicht:
Es ist deutlich zu erkennen, dass der Druckmittelpunkt bei einem Abstand von 2,31 m in Richtung der
Merke
Der Druckmittelpunkt liegt immer unterhalb des Schwerpunktes.
Vergleich der Wirkungslinien der Horizontalkraft
Der Druckmittelpunkt wurde bestimmt, um zu zeigen, dass die Horizontalkraft durch diesen Punkt geht. Ist dies nun aber tatsächlich der Fall? Die Wirkungslinie der Horizontalkraft hat einen senkrechten Abstand von 2 m zur Flüssigkeitsoberfläche. Der Druckmittelpunkt liegt 2,31 m entfernt von der Flüssigkeitsoberfläche, allerdings ist hier der schräge Abstand berechnet worden. Mittels Trigonometrie kann der senkrechte Abstand des Druckmittelpunktes bestimmt werden:
Mittels Sinus kann man nun die senkrechte Seite (Gegenkathete) bestimmen. Der Winkel ist in der Aufgabenstellung gegeben. Die schräge Seite hat einen Winkel von 60° zur Horizontalen.
Das Ergebnis entspricht genau dem senkrechten Abstand der Wirkungslinie der Horizontalkraft zur Flüssigkeitsoberfläche. Demnach geht die Kraft
Merke
Ist eine rechteckige Fläche gegeben, so liegt die Wirkungslinie der Horizontalkraft im Schwerpunkt der Dreieckslast (wie hier). Ist keine rechteckige Fläche gegeben, so muss der Druckmittelpunkt bestimmt werden, durch welchen die Horizontalkraft verläuft. Der Druckmittelpunkt liegt immer unterhalb des Schwerpunktes der Fläche.
Berechnung der Vertikalkraft
Die Vertikalkraft ergibt sich aus dem Wasservolumen oberhalb der schrägen Wand. Dieses Wasservolumen stellt eine Dreieckslast dar.
Die Vertikalkraft beträgt:
Das Volumen oberhalb der schrägen Wand ist dreieckig:
Es ergibt sich also eine Vertikalkraft von:
Methode
Die Wirkungslinie der Vertikalkraft liegt im Schwerpunkt dieses Volumens:
Der Schwerpunkt liegt bei 1/3 der Höhe (von der Wasseroberfläche aus gesehen) und bei 1/3 der Länge. Berechnet wird die Lage des Schwerpunktes durch:
Resultierende und Wirkungslinie
Die Resultierende wird berechnet durch:
Die Wirkungslinie wird bestimmt durch:
Die resultierende Druckkraft
In der obigen Grafik (zweidimensional) sind die Horizontalkraft, die Vertikalkraft und die Resultierende eingezeichnet. Die Wirkungslinie der Vertikalkraft geht durch den Schwerpunkt der Dreiecksfläche oberhalb der schrägen Wand. Die Wirkungslinie der Horizontalkraft geht durch den Schwerpunkt der Dreieckslast (da rechteckige Fläche) bzw. durch den Druckmittelpunkt und die Resultierende geht durch den Druckmittelpunkt. In diesem Beispiel schneiden sich alle Kräfte in diesem Druckmittelpunkt.
Alternative Berechnung (Klausurtipp)
Die resultierende Druckkraft
Dabei ist
Der Unterschied zur Bestimmung der Horizontalkraft liegt darin, dass nun nicht die projizierte Fläche berücksichtigt wird, sondern die tatsächliche schräge Fläche
Es ergibt sich:
Die Abweichung zur obigen Berechnung resultiert aus Rundungsfehlern.
Es kann nun die Horizontalkomponente bestimmt werden mit:
Die Vertikalkraft bestimmt sich dann durch:
Merke
Die Abweichungen zu den obigen Ergebnissen resultieren aufgrund von Rundungsfehlern.
Die Wirkungslinie der Resultierenden wird bestimmt, indem der Druckmittelpunkt berechnet wird (siehe oben). Die Resultierende verläuft durch den Druckmittelpunkt. Wird in der Aufgabenstellung also nicht ausdrücklich nach dem Rechenweg für die Horizontalkraft bzw. Vertikalkraft gefragt, so kann man sich die obige Berechnung sparen und berechnet stattdessen zunächst die Resultierende und daraus dann die Horizontal- und Vertikalkraft. Dann muss noch der Druckmittelpunkt ermittelt werden, um die Wirkungslinie der Resultierenden zu bestimmen. Auch für Aufgaben ohne Frage nach Horizontal- und Vertikalkomponente ist dieses letzte Vorgehen zu empfehlen.
Videos: Berechnung der Druckkräfte auf eben geneigte Flächen
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