Inhaltsverzeichnis
Das hydrostatische Pradoxon besagt einfach, dass der hydrostatische Druck (also derjenige Druck, welchen die Flüssigkeit ausübt) nur abhängig von der Höhe zur Wasseroberfläche ist. Was das genau bedeutet, wird in diesem Abschnitt näher betrachtet werden.
Merke
Der hydrostatische Druck wird berechnet durch:
Der hydrostatische Druck einer Flüssgikeit ist abhängig von der Höhe der Flüssigkeitssäule
In der Grafik sind drei Behälter gegeben, die unterschiedlich geformt sind. Der hydrostatische Druck am Boden der Behälter ist für alle Behälter gleich, weil die Höhe
Beispiel
Stellen wir uns einen Taucher vor, welcher im Ozean taucht. Wir betrachten den Druck auf den Oberkopf des Tauchers, welcher sich 10 Meter unter der Wasseroberfläche befindet. Dieser Druck beträgt:
Stellen wir jetzt den 2m großen Taucher in einen Wassertank, welcher eine Höhe von 2m aufweist. Der Oberkopf des Tauchers berührt also gerade den Tankdeckel. Befestigen wir nun einen dünnen (z.B. 5mm) Schlauch an der Oberseite des Tanks. Der Schlauch sei 10m lang und wird senkrecht nach oben gehalten und komplett mit Wasser gefüllt. Die Flüssigkeitssäule über den Kopf des Tauchers beträgt also ebenfalls 10 Meter. Der Druck der sich hieraus ergibt, beträgt:
Das bedeutet, dass auf den Oberkopf des Tauchers derselbe Druck wirkt wie im Ozean.
Merke
Das Hydrostatische Paradoxon (auch: Pascalsches Paradoxon) besagt, dass der hydrostatische Druck (Schweredruck), zwar abhängig von der Füllhöhe der Flüssigkeit ist, aber nicht von der Form des Gefäßes und damit der enthaltenen Flüssigkeitsmenge.
Druckkraft auf den Bodenbehälter
Wir wollen in einem nächsten Schritt die Druckkraft auf den Behälterboden bestimmen. Hier müssen wir nun eine weitere Voraussetzung treffen, damit der Druck am Behälterboden für alle Gefäße identisch ist:
- Flüssigkeitssäule konstant
- Dichte konstant
- Bodenquerschnitt konstant.
Ist also der hydrostatische Druck für alle Behälter identisch (selbe Flüssigkeit und selbe Flüssigkeitshöhe), so bedeutet dies nicht sofort, dass auch die Druckkraft auf den Behälterboden für diese Behälter gleich ist:
Die Druckkraft wird berechnet durch:
Umstellen nach
mit
ergibt sich dann:
Methode
Anhand der Gleichung wird sofort klar, dass die Druckkraft abhängig vom Querschnitt ist. Es ergibt sich also am Behälterboden derselbe hydrostatische Druck für alle oben abgebildeten Behälter, infolge derselben Flüssigkeitssäule
Der hydrostatische Druck ist für alle Behälter gleich, wenn
- dieselbe Flüssigkeit betrachtet wird (Dichte konstant)
- derselbe Ort Ausgangspunkt der Betrachtung ist (Fallbeschleunigung konstant)
- dieselbe Flüssigkeitssäule vorliegt (Höhe konstant)
Die hydrostatische Bodenkraft ist für alle Behälter gleich, wenn
- der hydrostatische Druck für alle Behälter am Boden gleich ist (
= konstant) - und zusätzlich der Bodenquerschnitt aller Behälter gleich ist.
Beispiel: Hydrostatisches Paradoxon
Beispiel
Gegeben seien die obigen beiden Gefäße mit gleichem Bodenquerschnitt und gleicher Flüssigkeitshöhe und derselben Breite
Das Gefäß 1 besitzt eine Druckkraft:
Die Fläche auf welche die Kraft drückt, ist die Bodenfläche mit:
Es ergibt sich also eine Druckkraft auf den Boden von:
Das Gefäß 2 besitzt die Druckkraft:
Beide Gefäße besitzen trotz unterschiedlicher Gefäßformen denselben Bodendruck. Der Grund dafür liegt darin, dass das über den Bodenflächen
Merke
Die Druckkraft auf den Behälterboden kann größer (oder kleiner) sein als die Gewichtskraft des Wassers im Behälter.
Die obige Aussage trifft auch hier zu. Die beiden obigen Behälter besitzen unterschiedliche Volumina an Wasser. Demnach sind die Gewichtskräfte des Wassers für beide Behälter auch unterschiedlich groß. Allerdings ist die Druckkraft auf den Boden für beide gleich groß.
Die Gewichtskraft des Wassers berechnet sich durch:
Für den linken Behälter wird nun das Volumen herangezogen:
Die Gewichtskraft des Wassers im linken Behälter beträgt:
Für den rechten Behälter gilt:
Man sieht also ganz deutlich, dass die Druckkraft auf den Boden des linken Behälters größer ist als die tatsächliche Wasserkraft. Bei dem zweiten Behälter stimmen die Kräfte überein. Wie kann das sein?
Bei dem ersten Behälter wurden bei der Berechnung der Bodendruckkraft die Auftriebskräfte vernachlässigt, welche an den oberen linken und rechten Seiten angreifen. Werden diese mitberücksichtigt, so ergibt sich für den linken Behälter genau die Gewichtskraft der Wasserkraft.
Die Auftriebskraft berechnet sich durch:
bzw.
Die Fläche auf welche die Auftriebskraft wirkt beträgt:
Die Höhe wird wieder bestimmt von der Fläche, auf welcher die Auftriebskraft bis zur Flüssigkeitsoberfläche wirkt. In diesem Fall:
Insgesamt ergibt sich eine Auftriebskraft von:
Das Minuszeichen wird verwendet, da die Auftriebskraft nach oben (in Richtung der negativen
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