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Beispiel
Gegeben sei ein Wasserbecken. Das Wasserbecken besteht aus Betonwänden. In einer dieser Wände befindet sich eine Tür. Diese Tür hat eine Höhe von 2,5 m, eine Länge von 1,5 m und eine Breite (Tiefe) von 1 m. Insgesamt ergeben sich 3,75 m³. Der Schwerpunkt der Tür befindet sich in 5 m Tiefe. Es soll die Horizontalkraft und die Vertikalkraft bestimmt werden. Außerdem die Resultierende und ihre Wirkungslinie.
Berechnung der Horizontalkraft
In diesem Beispiel wirkt nur eine Horizontalkraft (
Für die Berechnung muss zunächst wieder eine Fläche projiziert werden:
In der obigen Grafik ist nun der Schwerpunkt (rot) der Tür eingezeichnet. Der Schwerpunkt befindet sich in der Mitte der Tür (rechteckige Fläche). Der schwarze Türknauf wurde der Übersicht halber entfernt. Der Schwerpunkt befindet sich 5 m tief unter Wasser.
Die Horizontalkraft wird bestimmt durch:
Da wir nur die Druckkraft auf die Tür benötigen, muss auch nur die Türfläche projiziert werden. Da sich die Tür in einer senkrechten Wand befindet, ist die projizerte Fläche und die Fläche der Tür identisch. Es handelt sich um eine rechteckige Fläche, demach ergibt sich der Flächeninhalt aus Höhe mal Breite:
Merke
Sollte die Breite
Merke
Um den Flächeninhalt der projizierten Fläche zu bestimmen und hier auch die richtigen Werte zu verwenden, kann man sich folgendes merken: Wenn man die Horizontalkraft in
Für die Tür bedeutet dies, dass für die projizierte Fläche die Abmessungen in
Resultierende und Wirkungslinie
Wir haben eine vertikale Wand gegeben. Demnach ist die resultierende Druckkraft
Da keine Vertikalkraft existiert, ist die Resultierende gleich der Horizontalkraft.
Wir wollen als nächstes herausfinden, in welchem Punkt die Resultierende angreift (=Durckmittelpunkt). Um nun den Druckmittelpunkt bestimmen zu können, wird ein
Die
Es kann nun mittels der folgenden Gleichungen der Abstand des Druckmittelpunktes zum Schwerpunkt in Richtung der
Methode
Flächenträgheitsmoment
Fläche ist:
Insgesamt ergibt sich:
Hierbei handelt es sich um den Abstand vom Schwerpunkt zum Druckmittelpunkt in
Der Abstand in
Methode
Die
Insgesamt wird also der gesamte Term null:
Die Wirkungslinie der Horizontalkraft
Beispiel: Druck auf den Behälterboden
Beispiel
Wie groß ist die Gewichtskraft des Wassers? Wie groß ist die Druckkraft, die auf den Behälterboden wirkt? Wie groß sind die Lagerkräfte?
Gewichtskraft des Wassers
Die Gewichtskraft des Wassers wird bestimmt durch:
Hier muss das gesamte Volumen des obigen Beckens berücksichtigt werden. Das Volumen ergibt sich u.a. durch:
Die
Methode
Druckkraft auf Behälterboden
Um die Kraft zu bestimmen welche auf den Behälterboden wirkt, muss man zunächst den Druck bestimmen, welcher sich in dieser Tiefe ergibt:
Es muss dann der Druck für den gesamten Boden bestimmt werden. Hierzu muss die Fläche
Es gilt:
Methode
Es wurde hier die Formel:
Merke
Betrachtet man bei der Formel
Bestimmung der Lagerkräfte
Zunächst einmal werden die Lagerkräfte aus der Gewichtskraft des Wassers bestimmt. Es sollen hier nur die vertikalen Kräfte bestimmt werden:
Die Gewichtskraft greift mittig an, deswegen 3 m.
Methode
Methode
Die Gewichtskraft des Wassers verteilt sich auf beide Lager.
Merke
Erinnerung: Ein Moment wird positiv, wenn sich das betrachtete Objekt gegen den Uhrzeigersinn um den Bezugspunkt dreht und negativ, wenn es sich im Uhrzeigersinn um den Bezugspunkt dreht.
Die zweite Möglichkeit besteht darin, die Kräfte aus der Druckkraft
Die Gewichtskraft des Wassers verteilt sich auf beide Lager.
Es sind nun zwei unterschiedliche Werte für die Lager ermittelt worden. Wie kann das sein? Es muss bei der letzten Berechnungsweise noch zusätzlich die Auftriebskraft an den Seitenteilen berücksichtigt werden:
Es muss nun also die Auftriebskraft
Es wird zunächst die linke Seite betrachtet. Der Druck wird berechnet durch:
Hier wurde die Höhe
Die projizierte Fläche bestimmt sich durch:
Insgesamt ergibt sich für die Auftriebskraft der linken Seite:
Die rechte Seite besitzt dieselbe Auftriebskraft:
Die erneute Berechnung der Lagerkräfte muss nun unter Berücksichtigung dieser Auftriebskräfte geschehen:
Die Lagerkräfte stimmen nun mit denen überein, welche aus der Gewichtskraft
Merke
Wichtig ist also, dass die Lagerkräfte aus der Gewichtskraft des Wassers berechnet werden können (einfache Methode). Oder eben aus den Druckkräften auf den Boden. Hier müssen aber noch zusätzlich die Auftriebskräfte an den Seitenteilen berücksichtigt werden (sofern vorhanden).
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