Ebene Bewegung in Polarkoordinaten

Bei der ebenen Bewegung eines Massenpunktes wird der Ort bzw. die Lage dieses Punktes durch die und Koordinaten angegeben. Es ist häufig sinnvoll für diese ebenen Betrachtungen Polarkoordinaten einzuführen. Hierzu führt man ein ebenes -Koordinatensystem ein, dessen Ursprung mit dem des -Koordinatensystems zusammenfällt. Der Winkel wird dabei von der positiven -Achse ausgehend positiv gezählt. 

Es werden die Basisvektoren und eingeführt, welche beide orthogonal (senkrecht) zueinander stehen:

In der obigen Grafik ist eine Bahnkurve (rot), welche in der -Ebene liegt zu sehen. Der Punkt auf der Bahnkurve ist durch die -Koordinaten festgelegt. Man kann diese nun auch durch Polarkoordinaten ersetzen, indem die Basisvektoren und eingeführt werden. Dabei hat der Basisvektor den Winkel zur Horizontalen und der Basisvektor den Winkel zur Vertikalen. Die beiden Basisvektoren stehen demmach orthogonal zueinander. 

Die Zerlegung der Basisvektoren im -Koordinatensystem führt zu:

Der Ortsvektor lautet in Polarkoordinaten:

Geschwindigkeit in Polarkoordinaten

Die Differentation des Ortsvektors nach der Zeit ergibt dann den Geschwindigkeitsvektor:

Man sieht oben deutlich, dass . Einsetzen ergibt:

Die skalaren Komponenten des Geschwindigkeitsvektors sind die 

Beschleunigung in Polarkoordinaten

Den Beschleunigungsvektor erhält man - wie bereits in den vorherigen Abschnitten aufgezeigt - durch die Ableitung des Geschwindigkeitsvektors nach der Zeit :

Einsetzen von

und

ergibt

Die beiden skalaren Komponenten des Beschleunigungsvektors sind die

Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung

Die Winkelgeschwindigkeit bestimmt sich durch die erste Ableitung des Winkels nach der Zeit. Es handelt sich also um eine auf die Zeit bezogene Winkeländerung :

Die Winkelgeschwindigkeit hat die Dimension 1/Zeit.

Die Winkelbeschleunigung ergibt sich durch die Ableitung der Winkelgeschwindigkeit:

Die Winkelbeschleunigung hat die Dimension 1/Zeit².