Beispiel: Vertikaler Wurf

In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie man die Höhe eines Balls bestimmt, welcher aus der Ruhelage vertikal nach oben beschleunigt wird. Es wird zunächst anhand des 2. Newtonschen Gesetzes gezeigt, wie sich die Höhe bestimmt und danach anhand des d'Alembertschen Prinzips.

Beispiel: Vertikaler Wurf

Der Freischnitt ergibt sich wie folgt:

(a) ohne Luftwiderstand

Die Bewegungsgleichung nach dem Newtonschen Grundgesetz ergibt sich dann wie folgt:

Wir betrachten nun zunächst die Summe aller Kräfte, also die linke Seite der obigen Gleichung. Die an dem Ball angreifende Kraft ist die Gewichtskraft (eingeprägte Kraft ) :

Die Gewichtskraft wird wie folgt bestimmt:

Hierbei ist die Erdbeschleunigung. Wir setzen also für die linke Seite für ein:

Danach lösen wir die obige Gleichung nach der Beschleunigung auf:

.

In der Aufgabe soll die Höhe bestimmt werden. Es handelt sich um eine geradlinige Bewegung. Um die Höhe zu bestimmen, kann man nun die Beschleunigung in Abhängigkeit dieser Höhe annehmen: .

Dies ist gleichzusetzen mit der Beschleunigung in Abhängigkeit vom Ort, wenn man sich die -Achse als Horizontale vorstellt. Demnach kann die Gleichung aus dem Abschnitt Beschleunigung in Abhängigkeit vom Ort verwendet werden:

Statt wird nun die Koordinate eingesetzt:

Es wird nun für und eingesetzt:

Integral auflösen:

Zu Beginn ist :

Auflösen nach :

Hat der Ball die größtmögliche Höhe erreicht, so ist die Geschwindigkeit , da der Ball an der höchsten Stelle kurz "steht" und dann wieder herabfällt. Wir setzen also zur Berechnung von :

Aufgelöst nach ergibt sich:

   /

  = (20 m/s)^2 Gtt = t_st_s und ergibt sich dann:

Wie bereits oben erwähnt ist die Höhe des Balls geringer als ohne Luftwiderstand. Dieser bremst den Ball in seiner Geschwindigkeit ab und damit erreichtb der Ball eine geringere Höhe als ohne Luftwiderstand.

Die Bewegungsgleichung nach dem d'Alembertschen Prinzip ergibt sich dann wie folgt:

Wir berücksichtigen neben der Gewichtskraft auch den Luftwiderstand, welcher die Bewegung abbremst. Es ergibt sich:

Einsetzen von und ergibt:

Auflösen nach ergibt:

Das weitere Vorgehen ist analog zur obigen Vorgehensweise. Es resultiert demnach die Höhe:

.