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Der Impulssatz findet meist Anwendung bei Stoßvorgängen. Ein Stoß ist dadurch gekennzeichnet, dass eine sehr große Kraft
Beispiel
Man stelle sich einen Golfball vor. Man versetzt beim Golfspielen dem Golfball mittels Schläger einen kurzen kräftigen Stoß. Der Golfball erfährt dadurch eine plötzliche Geschwindigkeitsänderung. Dabei wird die Stoßdauer als so klein angenommen, dass die Lageänderung des Golfballes während des Stoßes vernachlässigt werden kann.
Bei solchen Stoßvorgängen, ist häufig die Geschwindigkeit des Massenpunktes vor dem Stoß gegeben und es soll die Geschwindigkeit des Massenpunktes nach dem Stoß bestimmt werden. Da der Verlauf der Kraft
Aus dem vorherigen Abschnitt ist bekannt:
Demnach ist der Kraftstoß
Methode
Der Kraftstoß ist also die Differenz aus dem Impuls nach dem Stoß
Beispiel
Zur Veranschaulichung der Problematik wird ein Massenpunkt betrachtet, welcher mit der Geschwindigkeit
Als nächstes wird das Freikörperbild aufgezeigt. Dieses wird für den Stoß (Massenpunkt trifft auf die Wand) gezeichnet:
Da es sich um eine glatte Wand handelt, treten keine Reibungskräfte in
Die Komponentendarstellung für die betrachtete
Methode
Es werden nun zunächst die Geschwindigkeiten in ihre Komponenten zerlegt:
Die negativen Vorzeichen resultieren, weil sich der Massenpunkt vor dem Stoß in negative
Nach dem Stoß bewegt sich der Massenpunkt in positive
Betrachtung der z-Richtung
Es wird angenommen, dass die Wand auf die der Massenpunkt trifft glatt ist. Das bedeutet, dass hier keine Reibungskräfte
und damit
Daraus folgt:
Da die Masse
Methode
Das bedeutet die Anfangsgeschwindigkeit in
Betrachtung der x-Richtung
Es wird als nächstes die
Kompressionsphase
Die Kompressionsphase bezeichnet diejenige Phase, in welcher der Körper auf die Wand trifft und in der Zeit
Methode
Restitutionsphase
In dieser Phase bildet sich der Körper ganz oder teilweise zurück. Dabei sei der Kraftstoß innerhalb der Restitutionsphase bezeichnet als
Methode
Betrachtet man nun den Massenpunkt welcher auf die Wand aufschlägt, so gilt für die Kompressionsphase (Phase des Aufpralls und Zusammendrückens)
Für die Restitutionsphase ist die Geschwindigkeit
Merke
Es existieren nun die drei Unbekannten:
Um nun weitere Aussagen über das Verformungsverhalten des Körpers treffen zu können, um dann daraus die drei Unbekannten bestimmen zu können, müssen drei Fälle unterschieden werden:
- Elastische Verformung
- Unelastische Verformung
- Teil-elastische Verformung.
Elastische Verformung
Bei der elastischen Verformung bildet sich der Körper in der Restitutionsphase vollständig zurück. Das bedeutet, dass der Kraftstoß beim Aufprall gleich dem Kraftstoß beim Abstoßen ist:
Methode
Bei der elastischen Verformung ist die Geschwindigkeit vor dem Stoß
Beispiel
Als Beispiel kann man hier einen Flummi ansehen, welchen man an eine Wand wirft. Dieser verformt sich zunächst beim Aufprall, bildet sich aber in der Restitutionsphase vollständig zurück. Die gesamte Bewegungsenergie (kinetische Energie) bleibt demnach erhalten und die Kraftstöße beim Aufprall und beim Abstoß sind gleich.
Unelastische Verformung
Bei der unelastischen Verformung bildet sich der Körper nicht mehr zurück. Die gesamte Verformung innerhalb der Kompressionsphase bleibt vollständig erhalten. Der Kraftstoß innerhalb der Restitutionsphase verschwindet
Methode
Auch hier zeigt das negative Vorzeichen an, dass der Massenpunkt sich vor dem Stoß in negative Achsenrichtung bewegt.
Beispiel
Als Beispiel kann man hier näherungsweise ein Ei ansehen, welches man an eine Wand wirft. Das Ei zerplatzt beim Aufprall und rutscht an der Wand herunter. Die Bewegungsenergie (kinetische Energie) wird komplett in innere Energie umgewandelt. Die Stoßkraft für den Abstoß ist also nicht vorhanden.
Teil-elastische Verformung
Bei der teil-elastischen Verformung bildet sich der Körper innerhalb der Restitutionsphase teilweilse zurück, nimmt aber nicht mehr die ursprüngliche Form an. Diese teilweise Rückbildung kann mit der Stoßzahl
Methode
Hierbei ist es so, dass die Bewegungsenergie teilweise in inneren Energie umgewandelt wird. Die Stoßkraft beim Aufprall
Merke
Nimmt
Zurück zum Beispiel
Es soll nun im Weiteren gezeigt werden, wie man die Geschwindigkeiten in
Beispiel
Es sei weiterhin das obige Beispiel gegegeben. Die Anfangsgeschwindigkeit sei
a) elastische
b) unelastische
und
c) teilelastische Verformung für
Es wird zunächst die
Es wirken keine Kräfte in
Und damit:
Die Komponentendarstellung hat ergeben:
Wir haben nur die Anfangsgeschwindigkeit
Es gilt:
Einsetzen von
Einsetzen der Werte:
Methode
Die Endgeschwindigkeit
Als nächstes muss die Geschwindigkeit
a) Elastische Verformung
Es wird zunächst die Komponentendarstellung in
Im obigen Freikörperbild wirkt die Stoßkraft
Diese Kraft
Für die Kompressionsphase gilt:
Methode
Für die Restitutionsphase gilt:
Methode
Bei der elastischen Verformung gilt:
Und damit:
Mit
Die Komponentendarstellung hat ergeben:
Wir haben in der Aufgabenstellung die Anfangsgeschwindigkeit
Es gilt:
Einsetzen von
Einsetzen der Werte:
Methode
Es kann nun die Endgeschwindigkeit
Methode
Der Abprallwinkel
Umstellen nach
Methode
Bei der elastischen Verformung ist die Anfangs- und Endgeschwindigkeit sowie der Winkel des Aufpralls und des Abstoßes jeweils gleich.
Der Kraftstoß in der Kompressionsphase ist:
Methode
Der Kraftstoß in der Restitutionsphase ist:
Methode
Die Kraftstöße beim Aufprall und beim Abstoß sind gleich, da die Verformung vollständig zurückgeht und die gesamte Bewegungsenergie vor dem Aufprall auch wieder in Bewegungsenergie für den Abstoß umgewandelt wird.
b) unelastische Verformung
Bei der unelastischen Verformung verformt sich der Körper in der Kompressionsphase und bildet sich in der Restitutionsphase nicht mehr zurück. Der Kraftstoß
Und daraus:
Es existiert demnach keine Endgeschwindigkeit in
Methode
Das Minuszeichen ergibt sich, da der Massenpunkt entgegen der positiven
Für den Winkel
Methode
Für die Kompressionsphase ergibt sich der Kraftstoß:
Methode
Der Kraftstoß in der Restitutionsphase ist gleich null:
Methode
(c) teil-elastische Verformung
Bei der teilelastischen Verformung wird nur ein Teil der Bewegungsenergie (kinetische Energie) in innere Energie umgewandelt. Das bedeutet, dass der andere Teil wieder in Bewegungsenergie umgewandelt wird. Der Körper verformt sich und bildet sich also teilweise wieder zurück. Dieser Teil führt dann dazu, dass sich der Körper an der Wand abstößt, allerdings ist
Es gilt:
Einsetzen von:
Ergibt:
Einsetzen der Werte:
Methode
Es ergibt sich demnach eine Endgeschwindigkeit
Methode
Da nur ein Teil der Bewegungsenergie wieder in Bewegungsenergie umgewandelt wird und der andere Teil für die Verformung aufgewendet wird, ist die Endgeschwindigkeit
Der Winkel
Methode
Der Winkel
Der Kraftstoß in der Kompressionsphase ist:
Methode
Der Kraftstoß in der Restitutionsphase ist:
Methode
Es ist deutlich zu erkennen, dass der Kraftstoß während des Aufpralls größer ist als der Kraftstoß während des Abstoß's. Grund dafür ist, dass nur ein Teil der Bewegungsenergie auch wieder in Bewegungsenergie umgewandelt wird. Der andere Teil wird in innere Energie umgewandelt und führt dazu, dass sich der Körper verformt.
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