Inhaltsverzeichnis
- Kompressionsphase
- Restitutionsphase
- Elastische, unelastische und teil-elastische Verformung
- Elastische Verformung
- Unelastische Verfomung
- Teil-elastische Verformung
- Stoßbedingung
- Bestimmung der Endgeschwindigkeiten
- Gesamtimpuls konstant
- Energieverlust
- Anwendungsbeispiel: Elastischer Stoß
- 1. Betrachtung der Energie
- 2. Reibungskraft bestimmen
- Anfangsgeschwindigkeiten bestimmen
- Endgeschwindigkeiten bestimmen
- Wegdifferenz bestimmen
Es soll im folgenden die Vorgehensweise zur Lösung von Stoßvorgänge anhand eines geraden, zentrischen Stoßes zwischen zwei glatten Körper betrachtet werden. Das bedeutet, die Geschwindigkeitsrichtungen der beiden Körper liegen parallel zur Stoßnormalen der zwei aufeinander prallenden Körper (gerader Stoß). Außerdem geht die Stoßnormale durch die Schwerpunkte beider Körper (zentrischer Stoß) und es treten nur Stoßkräfte in Richtung der Stoßnormalen auf (glatter Stoß).
Es werden die zwei glatten Massenpunkte
Die beiden betrachteten Massen treffen zum Zeitpunkt
Die Kraft aufgrund des Stoßes von
Methode
mit
Die Kraft über die gesamte Zeit ist die Differenz aus dem Impuls nach dem Stoß und dem Impuls vor dem Stoß. Die Einheit ist
Da der Verlauf der Kraft
Methode
Beide Phasen werden im Folgenden näher beschrieben.
Kompressionsphase
Die Kraft
Den Zeitraum kurz vor dem Stoß bei
Die Stoßkraft
Diese Stoßkraft kann auch mittels Impuls ausgedrückt werden. Betrachtet man das Newtonsche Gesetz, so ergibt sich:
bzw.
Es gilt also für die Stoßkraft innerhalb der Kompressionsphase:
Methode
Betrachtet man nun die beiden Massenpunkte, so sieht man an der obigen Grafik deutlich, dass die beide Massenpunkte diese Stoßkraft innerhalb der Kompressionsphase aufeinander ausüben. Die Stoßkraft ist gleich groß, aber entgegegengesetzt. Es werden nun für beide Massenpunkte separat die Stoßkraft aufgestellt.
Die Stoßkraft
Methode
mit
Das Minuszeichen vor der Kraft ergibt sich aus der Kraftrichtung in negativer
Merke
Bei
Die Kraft die von dem Massenpunkt
Methode
mit
Restitutionsphase
Die Resititutionsphase ist die Phase von der maximalen Zusammendrückung bei
Auch hier kann wieder der Impuls angewandt werden (siehe oben). Der Unterschied ist nur das Zeitintegral. In dieser Phase muss von
Die Stoßkraft
Methode
Dabei ist
Merke
Die beiden betrachteten Massen bewegen sich nach dem Stoß unabhängig voneinander mit den Geschwindigkeiten
Es werden nun für beide Massenpunkte separat die Stoßkraft aufgestellt.
Die Kraft
Methode
mit
Die Kraft die von dem Massenpunkt
Methode
mit
Elastische, unelastische und teil-elastische Verformung
Bei solchen Stoßvorgänge sind in den meisten Fällen die Anfangsgeschwindigkeiten gegeben. Es existieren also die fünf Unbekannten:
- Elastische Verformung
- Unelastische Verformung
- Teil-elastische Verformung
Die Definition der einzelnen Verformungen ist bereits im Abschnitt Stoßvorgänge des vorherigen Kapitels erfolgt. Dabei gilt:
Methode
Elastische Verformung
Bei der elastischen Verformung bildet sich der Körper in der Restitutionsphase vollständig zurück. Das bedeutet, dass die Stoßkraft beim Aufprall gleich der Stoßkraft beim Abstoßen ist:
Methode
Unelastische Verfomung
Bei der unelastischen Verformung bildet sich der Körper nicht mehr zurück. Die gesamte Verformung innerhalb der Kompressionsphase bleibt vollständig erhalten. Aufgrund der fehlenden Stoßkraft beim Abprall
Methode
Teil-elastische Verformung
Bei der teil-elastischen Verformung bildet sich der Körper innerhalb der Restitutionsphase teilweilse zurück, nimmt aber nicht mehr die ursprüngliche Form an. Das bedeutet, dass sich die Körper zwar noch voneinander abstoßen, die Stoßkraft beim Abstoß
Methode
Die Stoßzahl
Stoßbedingung
Die Stoßzahl
Methode
Bestimmung der Endgeschwindigkeiten
Um nun die Endgeschwindigkeiten
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Nach mehreren komplizierten Umformungen ergeben sich die folgenden Endgeschwindigkeiten für den geraden, zentrischen Stoß:
Methode
Wichtig: Die hier angegebenen Gleichungen gelten für die Bewegung der Massenpunkte vor dem Stoß nach rechts in positiver
Merke
Ergibt sich am Ende eine positive Endgeschwindigkeit
Gesamtimpuls konstant
Es gilt in jedem Fall (egal ob elastisch, teil-elastisch oder unelastisch), dass der Gesamtimpuls (Summe der Impulse der beiden Massen) konstant bleibt:
Methode
Der Gesamtimpuls vor dem Stoß ist gleich dem Gesamtimpuls nach dem Stoß.
Energieverlust
Die kinetische Energie stellt die Bewegungsenergie der beiden Massen dar. Die kinetische Energie der Massen vor dem Stoß entspricht:
Die kinetische Energie nach dem Stoß ist gegeben zu:
Beim teil-elastischen und unelastischen Stoß wird kinetische Energie in Wärme oder Verformungsenergie umgewandelt. Das bedeutet also, dass ein Energieverlust vorliegt. Diesen Energieverlust kann man bestimmen, indem die gesamte kinetische Energie nach dem Stoß von der gesamten kinetischen Energie vor dem Stoß abgezogen wird.
Setzt man nun die Endgeschwindigkeiten für den geraden, zentrischen Stoß ein, so ergibt sich:
Methode
Es ist deutlich zu erkennen, dass beim elastischen Stoß (
Anwendungsbeispiel: Elastischer Stoß
Beispiel
Ein Klotz mit der Masse
In welchem Abstand voneinander bleiben die beiden Klötze liegen, wenn der Reibungskoeffizient für beide Klötze
1. Betrachtung der Energie
Wir betrachten zunächst die Feder und den 1. Klotz. Die Feder ist gespannt, weist also eine Spannenergie auf von:
Methode
Einsetzen der Werte:
Die Feder beginnt nun den Klotz wegzuschleudern. Die Feder übertägt dabei die Spannenergie auf den Klotz und wandelt diese in kinetische Energie um:
Wir müssen hier aber noch zusätzlich die Reibung zwischen Klotz und Ebene berücksichtigen. Der Klotz gleitet 6m über die Ebene bis dieser den 2. Klotz trifft. Für diese 6 m muss also die Reibungskraft von der kinetischen Energie abgezogen werden, weil durch die Reibung der Körper abgebremst wird und damit die kinetische Energie sinkt. Die Reibungsenergie wird wie folgt berechnet:
Methode
Dabei ist
2. Reibungskraft bestimmen
Die Reibungskraft können wir bestimmen, indem wir den Klotz freischneiden und alle Kräfte die auf den Klotz wirken abtragen:
Dabei ist
Wir stellen als nächstes das Newtonsche Grundgesetz in Komponentendarstellung auf:
Dabei ist
Die Reibungskraft ist definiert zu:
Da
Dabei ist
Wir können nun die Reibungskraft bestimmen:
Die Reibungsenergie beträgt dann:
Das bedeutet, dass 88,32 J der kinetischen Energie in Reibungsenergie umgewandelt werden.
Wir interessieren uns für die kinetische Energie kurz vor dem Stoß mit dem 2. Klotz, also nach dem Weg von 6m. Dazu müssen wir als nächstes die Reibungsenergie von der gesamten kinetischen Energie abziehen:
Die kinetische Energie in Höhe von 136,68 J weist der 1. Klotz unmittelbar vor dem Zusammenstoß mit dem 2. Klotz auf.
Anfangsgeschwindigkeiten bestimmen
Wir benötigen als nächstes die Anfangsgeschwindigkeit des 1. und 2. Klotzes um die Endgeschwindigkeiten beider Klötze bestimmen zu können.
Die Anfangsgeschwindigkeit des 1. Klotzes kann aus der kinetischen Energie unmittelbar vor dem Stoß bestimmt werden:
Auflösen nach
Die Anfangsgeschwindigkeit des 2. Klotzes ist
Endgeschwindigkeiten bestimmen
Die Endgeschwindigkeiten können nun anhand der obigen Formeln bestimmt werden:
Einsetzen der Werte:
Der Klotz 1 weist eine negative Geschwindigkeit auf. Das bedeutet, dass sich der Klotz entgegen der angenommenen Richtung bewegt. Der Klotz hat sich nach rechts bewegt (vor dem Stoß) und die Anfangsgeschwindigkeit wurde positiv in die Gleichung eingetragen, also sind wir von einer Bewegung nach rechts ausgegangen. Da nun eine negative Geschwindigkeit resultiert, bewegt sich der Klotz nach dem Stoß nach links. Der 2. Klotz wird durch den Zusammenstoß nach rechts gestoßen.
Wegdifferenz bestimmen
Wir wollen als nächstes herausfinden in welchem Abstand beide Klötze voneinander zum Stehen kommen. Aufgrund der Reibung der Klötze mit dem Boden, werden beide irgendwann bis zum Stillstand gebremst. Auch hier gilt wieder die Reibungsenergie zu bestimmen:
Die Reibungskraft für den 1. Klotz haben wir bereits bestimmt:
Methode
Wir benötigen noch die Reibungskraft des 2. Klotzes. Auch dieser wird wieder freigeschnitten. Aus dem Newtonschen Grundgesetz in
Die Reibungsenergie des 2. Klotzes beträgt also:
Methode
Die beiden Klötzen weisen nach dem Stoß die Endgeschwindigkeiten
Dieses mal wird die gesamte kinetische Energie in Reibungsenergie umgewandelt, weil die Klötze bis zum Stillstand gebremst werden:
Einsetzen in die Reibunsgenergie:
Und auflösen nach
Der Klotz 1 bewegt sich also nach dem Stoß 0,58 m nach links, der Klotz 2 nach dem Stoß 5,22 m nach rechts. Dann bleiben beiden liegen. Der Abstand beider Klötze beträgt demnach:
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