In diesem Abschnitt wird das Newtonsche Grundgesetz auf ein System von Massenpunkten erweitert, welche sich innerhalb eines abgeschlossenen Bereichs im Raum befinden (siehe untere Grafik). Die einzelnen Massenpunkte besitzen beliebige Bindungen untereinander.
In der obigen Grafik ist ein Massenpunktsystem, welches sich innerhalb eines geschlossenen Bereichs (Systemgrenze) befindet. Es besteht aus Massenpunkten (). Auf die einzelnen Massenpunkte wirken zum einen äußere Kräfte und zum anderen innere Kräfte :
In der obigen Grafik sind die beliebigen Bindungen gelöst und an ihrer Stelle die inneren Kräfte (grün) eingezeichnet worden. Die äußeren Kräfte auf die Massenpunkte sind zur besseren Übersicht in blau eingezeichnet. Es soll nun der Massenpunkt betrachtet werden, welcher sich innerhalb des Massenpunktsystems befindet.
Die äußeren Kräfte sind die bereits bekannten eingeprägten Kräfte und die Zwangskräfte . In der obigen Grafik sind dies die äußere Kraft , die an den Massenpunkt angreift und die Gewichtskraft . Die Summe aus diesen äußeren Kräften die an dem Massenpunkt angreifen, sollen im weiteren mit bezeichnet werden.
Merke
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Demnach ist die Resultierende aller äußeren Kräfte die an den Massenpunkt angreifen.
Die inneren Kräfte (grün), die an den Massenpunkt angreifen, werden durch Lösen der Bindungen sichtbar gemacht. Dabei ist die Summe aus allen inneren Kräfte an diesen Massenpunkt. Die Summe aller grün eingezeichneten Kräfte die am Massenpunkt angreifen, werden im weiteren mit bezeichnet.
Merke
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Demnach ist die Resultierende aller inneren Kräfte die an den Massenpunkt angreifen.
Newtonsche Grundgesetz des Massenpunktsystems
Das Newtonsche Grundgesetz für einen Massenpunkt ergibt sich zu:
Das Newtonsche Grundgesetz für einen Massenpunkteines Massenpunktsystem ergibt sich zu:
Methode
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Die obige Formel bedeutet, dass die Resultierende der äußeren Kräfte addiert mit der Resultierenden der inneren Kräfte des Massenpunktes gleich der Masse des Massenpunktes mal der Beschleunigung des Massenpunktes ist.
Video: Newtonsche Grundgesetz für einen Massenpunkt eines Massenpunktsystems
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Newtonsche Grundgesetz für das Massenpunktsystem
Das Newtonsche Grundgesetz auf das gesamte Massenpunktsystem mit () Massenpunkten ergibt sich zu:
Methode
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In dieser Formel werden nun die einzelnen Newtonschen Grundgesetze jedes einzelnen Massenpunktes miteinander addiert, um dann auf die Bewegung des Massenpunktsystems zu schließen. Das Summenzeichen zeigt also die Addition der Resultierenden äußeren und inneren Kräfte jedes einzelnen Massenpunktes an.
Da die Resultierende der inneren Kräfte eines Massenpunktes aus den Resultierenden der äußeren Kräften der anderen Massenpunkte bestimmt wird, heben sich die Resultierenden der inneren Kräfte gegenseitig auf, wenn alle Massenpunkte des Massenpunktsystem betrachtet werden. Es bleibt demnach nur die Summe der Resultierenden der äußeren Kräfte übrig. Das Newtonsche Grundgesetz für das Massenpunktsystem ergibt sich zu:
Methode
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mit
= Summe der Resultierenden der äußeren Kräfte
Schwerpunktsatz
Es wird nun der Orstvektor des Massenmittelpunktes bzw. Schwerpunktes des Systems eingeführt:
Methode
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Lage des Massenmittelpunktes
mit
Umformen führt zu:
mit als Gesamtmasse des Systems ().
Durch zweimaliges Ableiten erhält man dann:
Und mit ergibt sich:
Es gilt und damit:
Methode
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Massenmittelpunktsatz
Die obige Bewegungsgleichung stellt den Massenmittelpunktsatz (oder: Schwerpunktsatz) dar. Man sieht deutlich, dass die inneren Kräfte keinen Einfluss auf die Bewegung des Schwerpunktes haben.
Der Massenmittelpunktsatz besagt, dass die Summe der Resultierenden aller äußeren Kräfte auf das Massenpunktsystem gleich der Gesamtmasse aller Massenpunkten multipliziert mit der Beschleunigung seines Schwerpunktes ist.
Merke
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Massenmittelpunktsatz: Der Massenschwerpunkt eines Systems von -Massen bewegt sich so, als ob die Gesamtmasse in ihm vereinigt wäre und dort alle äußeren Kräfte angreifen würden.
Komponentendarstellung:
Die Komponentendarstellung für die Lage des Massenmittelpunktes im Raum ist:
Gegeben seien die obigen zwei Gewichte, welche mit einem Seil miteinander verbunden sind. Der Klotz (20 kg) wird aus der Ruheposition losgelassen. Das Seil und auch die Rollen seien massenlos. Wie groß ist die Beschleunigung des Klotzes B (5 kg)?
Zunächst wird das Freikörperbild gezeichnet:
In dem obigen Freikörperbild sind die Seilkräfte bis durch freischneiden des Seils angebracht worden. Dabei ist das Seil, welches die rechte Rolle hält unerheblich für die Berechnung, da dieses Seil immer konstant bleibt. Genau so sieht es auch mit dem Seil aus, an welchem das Gewicht hängt. Für die Bewegungsrichtung der einzelnen Gewichte und ist angenommen worden, dass sich nach unten bewegt und damit nach oben.
Wenn die postitve -Achse nach unten gerichtet angenommen wird, folgt daraus, dass die Beschleunigung nach unten gerichtet und die Beschleunigung nach oben gerichtet ist. Das Newtonsche Grundgesetz lautet allgemein:
Die Masse bewegt sich hierbei in postive -Richtung:
Die Masse bewegt sich hierbei in negative -Richtung:
Aufgrund der massenlosen Seile gilt:
Eingesetzt ergibt sich:
Es muss als nächstes noch die kinematische Bindung berücksichtigt werden. Das Seil führt dazu, dass sich die beiden Gewichte nicht unabhängig voneinander bewegen. Wenn sich nach unten bewegt, dann bewegt sich nach oben und andersherum. Die Bewegungen sind also voneinander abhängig. Um zu zeigen, wie die Abhängigkeit gegeben ist, soll die folgende Grafik betrachtet werden:
In der obigen Grafik wird beispielhaft gezeigt, dass wenn sich das Gewicht um 2 cm nach oben verschiebt, dann verschiebt sich das Gewicht um 1 cm nach unten. Grund dafür sind die beiden Seilstücke rechts und links von der linken Rolle. Die 2 cm Seilverschiebung nach oben bei Gewicht verteilen sich auf die beiden Seilstücke rechts und links von der linken Rolle.
Die kinematische Beziehung lautet demnach:
Und damit gilt auch;
Es wird nun und nach und aufgelöst und den kinematischen Zusammenhang eingesetzt:
)
Einsetzen von und :
Schritt für Schritt nach auflösen:
Einsetzen der Werte:
Mittels der Seilkraft kann nun die Beschleunigung bestimmt werden:
Es ist also deutlich zu erkennen, dass die Beschleunigung vom Gewicht doppelt so groß ist, wie die Beschleunigung vom Gewicht . Bereits zu Anfang wurde die Richtung von Klotz nach unten und von Klotz nach oben angenommen wurde. Da nun die beiden Beschleunigungen positiv sind, ist dies der Fall der auch so eintreten wird.
Nimmt man nun an, dass Klotz eine Masse von besitzt und Klotz eine Masse von , so ergibt sich:
Man sieht nun das beide Beschleunigungen negativ werden. Grund dafür ist, dass die angenommenen Richtungen der Klötze und nun nicht mehr gegeben sind. Der Klotz bewegt sich nun nach oben und der Klotz nach unten. Der kinematische Zusammenhang bleibt natürlich bestehen.
