Differentialgleichung der elastischen Biegelinie

Man erinnere sich an die Spannungsberechnung für die gerade Biegung, von dort ist folgende Gleichung bekannt:

Ferner ist auch diese Gleichung interessant:

Und zuletzt die Gleichung zur Berechnung der Querkraft:

Setzt man nun die 2. Gleichung in die 3. Gleichung ein, so folgt daraus: 

mit

Man erhält folglich für die Querkraft:

Wird die Schubfläche eingeführt, so erhält man:

und im weiteren Umfang mit

Wenn , dann läuft die Gleitung gegen null.

Hier erkennt man, dass die Ableitung der Durchbiegekurve der negativen Neigung eines Balkenquerschnitts entspricht. 

Betrachtet man die obige Abbildung genau, so lässt sich vermuten, dass der Tangentensteigungswinkel dem Neigungswinkel entspricht. Dies gilt es nun zu überprüfen: 

So ist für mittlere bis große Verformungen zulässig und

für kleine Verformungen. 

Aus diesen beiden Gleichungen folgt durch Gleichsetzen .

Differentialgleichung der Biegelinie

Nachdem nun alle relevanten Gleichungen erfasst sind, kann mit Hilfe dieser die Differentialgleichung der Biegelinie aufgestellt werden. Aus  und  folgt dann:

Umstellen der obigen Gleichung nach ergibt dann:

Durch zweifache Integration von kann die Biegelinie bestimmt werden. Das ist der Momentenverlauf, welcher von abhängig ist. Bei reiner Biegung ist dieser konstant , d.h. an jeder Stelle gleich. Bei Querkraftbiegung hingegen ist der Momentenverlauf abhängig davon, wo der Schnitt bei durchgeführt wird. 

Liegt eine Streckenlast vor, so kann die Berechnung wie folgt durchgeführt werden:

In den nachfolgenden Abschnitten wird gezeigt wie man vorgehen muss, um die Differentialgleichung lösen zu können.