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Beispiel: Reine Biegung
Beispiel
Gegeben sei der obige Balken mit einem einfach symmetrischen trapezförmigen Querschnitt. Der Balken ist fest eingespannt. Es soll das Widerstandsmoment und die maximale sowie minimale Normalspannung bestimmt werden.
Zunächst wird der Balken freigeschnitten:
Es folgt nun die Bestimmung der Lagerkräfte. Die Einspannung ist ein dreiwertiges Lager (siehe obige Grafik). Die Lagerkräfte werden am ungeschnittenem Balken mittels der drei Gleichgewichtsbedingungen bestimmt:
Es ist deutlich zu erkennen, dass die vertikale und horizontale Lagerkraft null wird, da auf den Balken keine Vertikal- und Horizontalkräfte wirken. Es wirken also nur Momente.
Es wird nun ein Schnitt durch den Balken durchgeführt und die Schnittgrößen angetragen:
Linkes Schnittufer:
mit
Rechtes Schnittufer:
Es ist deutlich zu sehen, dass das Biegemoment über die gesamte Balkenlängsachse konstant ist. Es treten keine Querkräfte auf, d.h. es liegt reine Biegung vor. Die maximale Normalspannung lässt sich berechnen durch:
Merke
mit
Zunächst muss das Widerstandsmoment bestimmt werden:
Das Flächenträgheitsmoment
Nachdem nun das Flächenträgheitsmoment bestimmt worden ist, wird als nächstes der Abstand der neutralen Faser, für die gilt
Der Abstand der neutralen Faser (welche durch den Schwerpunkt verläuft) hin zum oberen Rand beträgt also 0,67 m und zum unteren Rand
Das Widerstandsmoment beträgt also (Berücksichtigung der maximalen Normalspannung):
Die maximale Spannung ist beim positiven Biegemoment
Die maximale Spannung ergibt sich dann zu:
Die minimale Spannung ergibt sich zu:
Merke
Da das Biegemoment über den gesamten Balken konstant ist, sind die Spannungen, unabhängig davon wo der Schnitt durchgeführt wird, überall gleich.
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Maximale Normalspannung bei reiner Biegung
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