Flächenträgheitsmomente: Koordinatentransformation

In diesem Abschnitt wird gezeigt wie sich die Flächenträgheitsmomente berechnen lassen, wenn das UrsprungsKoordinatensystem um einen mathematisch positiven Winkel gedreht wird. Zunächst erfolgt die Herleitung der Formeln zur Bestimmung der Flächenträgheitsmomente für das gedrehte Koordinatensystem, danach erfolgt die Zusammenfassung der Formeln und zum Schluss ein Anwendungsbeispiel.

Die Koordinaten aus dem bisherigen ebenen Koordinatensystem werden nun in das Koordinatensystem überführt. Die Lage der Koordinaten im neuen Koordinatensystem lässt sich hierbei in Abhängigkeit der ursprünglichen Koordinaten berechnen. 

Die neuen Tensorkomponenten haben formal die Form:

sowie 

Der Zusammenhang zwischen den "alten" und "neuen" Koordinaten ergibt sich durch:

Zusätzlich benötigt man die Additionstheoreme, die die folgende Form besitzen:

Jetzt sind alle notwendigen Bestandteile zur Koordinatentransformation vorhanden.

Koordinatentransformation

Exemplarisch wird hier auf eingegangen:

• Im ersten Schritt setzt man die zuvor aufgestellten Gleichungen bezüglich des Zusammenhangs in die Definitionsgleichungen der Tensorkomponenten ein.

Unter Berücksichtigung der binomischen Formel ergibt sich:

mit ,   und ergibt sich:

• Im nächsten Schritt wird unter Verwendung der Additionstheoreme die Gleichung umgeschrieben zu: 

Diese letzte Gleichung stellt eines der drei Transformationsgesetze für die Trägheitsmomente dar. 

Dasselbe Vorgehen für die anderen beiden Gleichungen ergibt:

und können auch nach dem oben beschriebenen Schema berechnet werden. 

Die Summe der Flächenträgheitsmomente ist unabhängig vom Drehwinkel gleich:

      (1. Invariante)

\alpha\alphaI_{\eta\zeta}I_yI_zI_{xy}$ eingesetzt:

Die 1. Invariante besagt . Ist die Summe aus den Flächenträgheitsmomenten des ungedrehten Koordinatensystems gleich der Summe aus den Flächenträgheitsmomenten des gedrehten Koordinatensystems, dann ist das Ergebnis korrekt: