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In den vorherigen Abschnitten wurde gezeigt, wie die Normalspannungen und die Biegelinie für die einachsige Biegung bestimmt werden können. Bei der einachsigen Biegung wirkt die resultierende äußere Kraft in Richtung einer der Hauptachsen des Querschnittes, d.h. es lag ein Moment um eine der Hauptachse vor (=einachsige Biegung).
In den folgenden Abschnitten wird nun die zweiachsige bzw. schiefe Biegung betrachtet (ohne Zug-/Druckkraft). Hierbei wirkt das Moment nicht mehr nur um eine Hauptachse, sondern um beide Hauptachsen.
Merke
Eine zweiachsige Biegung liegt vor, wenn Momente um beide Hauptachsen auftreten. Dies ist der Fall, wenn die Summe aller auf einen Balken wirkenden Kräfte nicht in Richtung einer der Hauptachsen zeigt.
Eine einachsige Biegung liegt vor, wenn das Moment um eine Hauptachse vorliegt. Dies ist der Fall, wenn die Summe aller auf einen Balken wirkenden Kräfte in Richtung einer der Hauptachsen zeigt.
Für die folgenden Betrachtungen werden hierzu Balken mit symmetrischen und asymmetrischen Querschnittsprofilen betrachtet. Dabei sei auf die Herleitung der Formeln verzichtet.
Symmetrische Querschnittsprofile
Für symmetrische Querschnittsprofile bezüglich der
In der obigen Grafik ist ein einfach symmetrischer Querschnitt abgebildet. Die
Merke
Liegen doppelt symmetrische Querschnitte vor (z.B. Rechteck, Kreis), so sind die Hauptachsen mit den Symmetrieachsen identisch. Bei einfach symmetrischen Querschnitten (z.B. Trapez, T-Träger) ist die eine Symmetrieachse eine Hauptachse und die dazu senkrecht stehende durch den Schwerpunkt verlaufende Achse ebenfalls eine Hauptachse.
Asymmetrische Querschnittsprofile
Für asymmetrische Querschnittsprofile bezüglich der
Merke
Bei asymmetrischen Querschnittsprofilen kann auch gerade Biegung auftreten. Dies ist der Fall, wenn die Summe aller äußeren Kräfte in Richtung einer der Hauptachsen des Querschnittes wirkt. Da dies aber eher selten ist, wird dieser Fall nicht betrachtet.
Um dies zu zeigen, wird der folgende Balken mit asymmetrischer Querschnittsfläche betrachtet:
In der obigen Grafik ist ein asymmterischer Querschnitt bezüglich der
Vorgehensweise zur Bestimmung der geraden bzw. schiefen Biegung
Diese Vorgehensweise ist sinnvoll, wenn mehrere Kräfte auf einen Balken wirken und die Richtung der Resultierenden nicht sofort ersichtlich ist. Wirken also zum Beispiel Kräfte in y-Richtung und in z-Richtung, so muss zunächst die Richtung der Resultierenden bestimmt werden, um herauszufinden, ob diese in Richtung einer der Hauptachsen wirkt (=gerade Biegung) oder nicht (=schiefe Biegung).
1. Hauptachsen bestimmen
Die Symmetrieachsen des Querschnittes stellen die Hauptachsen dar. Alle zu den Symmetrieachsen senkrechten Achsen sind ebenfalls Hauptachsen. Sind die y,z-Achsen des Querschnitts Symmetrieachsen (es reicht aus, wenn eine der Achsen eine Symmetrieachse darstellt), dann sind diese Achse gleichzeitig die Hauptachsen des Querschnitts. Sind die y,z-Achsen keine Symmetrieachsen, so sind diese auch keine Hauptachsen.
Soll die Lage der Hauptachsen berechnet werden, so kann dies über die folgende Gleichung geschehen:
Methode
mit
2. Resultierende äußere Kraft bestimmen
Greift nur eine Kraft auf den Balken bzw. zeigen alle Kräfte in dieselbe Richtung, so zeigt auch die Resultierende in diese Richtung. Wir kennen dann bereits die Richtung der Resultierenden. Zeigt diese in Richtung einer der Hauptachsen (=Gerade Biegung) oder nicht (=schiefe Biegung).
Sind Kräfte gegeben, die in unterschiedliche Richtungen angreifen, so müssen diese zu einer resultierenden Kraft zusammengefasst werden.
Methode
Mittels Satz des Pythagoras lässt sich dann die Resultierende bestimmen:
3. Richtung der Resultierenden bestimmen
Die Richtung der Resultierenden ist dann ausschlaggebend dafür, ob es sich um eine schiefe oder gerade Biegung handelt. Die Richtung der resultierenden Kraft kann bestimmt werden zu:
Methode
Zeigt die Resultierende in Richtung einer der Hauptachsen -> Gerade Biegung
Zeigt die Resultierende nicht in Richtung einer der Hauptachsen -> Schiefe Biegung
Normalspannungen bei schiefer Biegung ohne Zug-/Druckkraft
Die Normalspannung bei schiefer Biegung ohne Zug- / Druckkraft (
Normalspannung bei asymmetrischem Querschnitt (y,z-Achsen sind keine Hauptachsen):
Methode
Diese Gleichung kann als Ausgangsgleichung zur Bestimmung der Normalspannung (ohne Zug/Druck) herangezogen werden. Mit dieser Ausgangsgleichung kann sowohl für die schiefe als auch für die gerade Biegung die Normalspannung berechnet werden.
Für einen symmetrischen Querschnitt bezüglich der y,z-Achsen, sind diese gleichzeitig die Hauptachsen des Querschnitts. Damit ergibt sich das Deviationsmoment
Methode
Wirkt die Resultierende nur in
Liegt nun also eine Belastung in z-Richtung (
Liegt eine Belastung in y-Richtung (
Differentialgleichung der Biegelinie
Für asymmetrische Querschnitte ergibt sich:
Methode
Methode
Für symmetrische Querschnitte gilt (
Methode
Methode
Erfolgt die Belastung nur in
Die Vorgehensweise zur Bestimmung der Biegelinie ist identisch mit der Berechnung für die einachsige Biegung. Die Differentialgleichung muss zweimal integriert werden. Die anfallenden Integrationskonstanten können dann aus den Rand- und Übergangsbedingungen entnommen werden.
Spannungsnulllinie
Als Spannungsnulllinie (auch: Neutrale Faser), bezeichnet man diejenige Faser eines Balkenquerschnitts, deren Länge sich bei Verdrehen bzw. Biegen nicht ändert. Dort verursacht die Beanspruchung keine Zug- oder Druck-Spannung (Normalspannung gleich Null). Dort wo der betragsmäßig senkrechte Abstand von der Nulllinie maximal ist, ergeben sich die maximalen Normalspannungen.
Die Lage der Nulllinie bei schiefer Biegung ergibt sich wie folgt (
Methode
Hierbei ist
Hinweis
Ist die Spannungsnulllinie eingezeichnet, so kann mittels Geodreieck von der Nulllinie ausgehend (Nullpunkt des Geodreiecks in die Nulllinie legen) der betragsmäßig maximale Abstand bestimmt werden.
Auch diese Gleichung kann für sämtliche Belastungfälle als Ausgangsgleichung herangezogen werden. Wirkt z.B. nur eine Kraft in z-Richtung, so resultiert ein Moment um die y-Achse, womit
Das bedeutet, dass die Nulllinie mit der y-Achse zusammenfällt.
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