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In den bisherigen Betrachtungen wurden Spannungszustände stets an Zugstäben untersucht. Dabei handelte es sich um einachsige Spannungszustände, bei denen die Spannungen nur in Richtung der Belastung
Allgemeine Annahmen
Da in der Realität jedoch viel kompliziertere Spannungszustände auftreten, gilt es einige allgemeine Annahmen zu treffen. Es wird zunächst wieder die bereits bekannte Grafik aus dem Abschnitt Allgemeine Definition der Spannungen herangezogen:
In der obigen Grafik greifen die Kräfte beliebig am Körper an. Die Kräfte greifen nun also nicht mehr nur in Richtung der Längsachse des Körpers (wie bei Zugstäben/Druckstäben) an. Bei einem Zug-/Druckstab war es so, dass nur Kräfte in einer Achsenrichtung aufgetreten sind:
Bei einem Schnitt und dem Abtragen der Schnittkräfte
Im allgemeinen Spannungszustand treten aber nicht nur Kräfte in eine Richtung auf, sondern die Kräfte greifen beliebig am ganzen Körper an, in die drei
Das bedeutet, dass hier nicht nur Normalspannungen
Im Gegensatz zum bisherigen Vorgehen (siehe Abschnitt Definition der Spannung) wird die Schubspannung
Spannungsvektor
In der obigen Gleichung wird der Spannungsvektor durch seine Komponenten und den Einheitsvektoren in
Fasst man nun alle Annahmen zusammen, erhält man für den Spannungsvektor die Gleichung:
Spannungsvektor
Merke
Fällt der Normalenvektor hingegen mit dem Einheitsvektor
Methode
Spannungsvektoren
X-Richtung:
Y-Richtung:
Z-Richtung:
Insgesamt sind nun neun Spannungskomponenten beschrieben, davon drei Normalspannungen und sechs Schubspannungen. Zur Veranschaulichung dient die nächste Abbildung:
Der obige freigeschnittene Würfel zeigt alle Spannungskomponenten. Bei Betrachtung z.B. der
Die Indizes der Schubspannungen
Merke
Momentengleichgewicht
Um das Momentengleichgewicht aufzustellen, werden als nächstes die Spannungskomponenten in der Ebene (
Es wird nun das Momentengleichgewicht um den Elementmittelpunkt betrachtet. Da sich dieser in der Mitte des Quadrats befindet, sind die Abstände (also der Hebelarm) der Schubspannungen alle
Momentengleichgewichtsbedingung:
Aus dieser Gleichung wird deutlich, dass sich
Gleiches gilt für die Gleichgewichtsbetrachtung in den anderen Ebenen:
Die Quintessenz aus diesen Zusammenhängen ist, dass eine Abhängigkeit zwischen Schubspannungen besteht und dass immer jene, die ein vertauschtes Indexpaar besitzen identisch sind. So sind also Schubspannungen in zwei senkrecht aufeinander stehenden Ebenen gleich. Diese sogenannten zugeordneten Schubspannungen zeigen immer entweder beide auf eine Kante hin oder von einer Kante weg. Die unabhängigen Schubspannungen reduzieren sich somit auf drei und die Anzahl der unabhängigen Spannungskomponenten auf sechs.
Hieraus kann nun ein symmetrischer Spannungstensor gebildet werden:
Die Diagonalen bilden die Normalspannungen. Die übrigen Elemente sind Schubspannungen. Beide Spannungstensoren sind symmetrisch aufgrund der Gleichheit der Schubspannung bei identischen Indizes.
Merke
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