Hauptnormalenvektor

Der HauptNormalenvektor ist in einem bestimmten Punkt auf einer Kurve der Vektor, der senkrecht auf dem Tangentenvektor dieses Punktes liegt. Die Gerade, welche in Richtung des Normalenvektors in diesem Punkt verläuft, nennt man Normale. Die Normale ist wiederum senkrecht zur Tangente und somit auch senkrecht zur Kurve. 

Einführung

Ist der Tangentenvektor  in einem Kurvenpunkt , so entsteht der Normalenvektor  aus dem Tangentenvektor, indem man ihn um in die positive Richtung dreht (gegen den Uhrzeigersinn), also in Parameterdarstellung:

.

Um den Normalenvektor bestimmen zu können, muss die Kurve zweimal stetig differenzierbar sein, eine Parameterstelle mit und einen Tangentenvektor besitzen.

Beispiel: Normalenvektor

1. Ableitung bilden

2. Winkel bestimmen

Im Punkt ist der Winkel :

bzw.

:

3. Normalenvektor berechnen

Im Punkt mit dem Winkel ist der Normalenvektor:

  Normalenvektor

In der Grafik ist deutlich zu erkennen, dass der Normalenvektor in Richtung des Punktes zeigt. Verschiebt man diesen an den Punkt , so ist ersichtlich, dass der Normalenvektor senkrecht auf dem Tangentenvektor steht (= Drehung um 90° gegen den Uhrzeigersinn). Der Punkt  zeigt also die Richtung des Normalenvektors an. Den bereits verschobenen Normalenvektor kann man schreiben als: 

,

wobei den Geradenparameter darstellt. Also abhängig davon wie man wählt, ist folglich die Länge der Normalen. In dem obigen Beispiel wurde für gewählt.

Vektoren die senkrecht aufeinander stehen

Stehen Vektoren senkrecht aufeinander, wie in diesem Fall der Tangentenvektor und der Normalenvektor, so muss das Skalarprodukt aus beiden null ergeben:

Prüfen:

Der Tangentenvektor ist:  (siehe Kapitel: Tangentenvektor)

Der Normalenvektor steht senkrecht auf dem Tangentenvektor

Hauptnormalenvektor bzw. Einheitsnormalenvektor

Der hier gezeigte Normalenvektor stellt gleichzeitig den Hauptnormalenvektor dar mit der Länge . Will man aus einem Normalenvektor (Länge ) den Hauptnormalenvektor (Länge ) berechnen, muss man diesen durch seine Länge teilen:

Länge:

Hauptnormalenvektor

In diesem Beispiel:

Überblick der unterschiedlichen Darstellungsarten des Normalenvektors

Explizite Darstellung

Der Normalenvektor bei der expliziten Darstellung ergibt sich:

Im Punkt :

In der Grafik sieht man den Normalenvektor, dessen Ursprung der Nullpunkt ist und auf den Punkt zeigt. Durch Parallelverschiebung an den Punkt sieht man deutlich, dass der Normalenvektor im 90°-Winkel zum Tangentenvektor steht. Der Normalenvektor im Punkt :

Für den Geradenparamter wurde in der obigen Grafik gewählt (verkürzte Darstellung des Normalenvektors).

Berechnung des Hauptnormalenvektors

Der ermittelte Normalenvektor muss durch seine Länge geteilt werden:

Das bedeutet somit, dass der Hauptnormalenvektor die Länge besitzt:

 Länge: