Inhaltsverzeichnis
Die Bestimmung der Hauptdehnungen erfolgt analog zur Bestimmung der Hauptspannungen (siehe Kapitel Hauptspannungen).
Tranformationsregeln
Es gelten identische Transformationsregeln und Zusammenhänge, da beides Tensoren sind. Jeder beliebige Dehnungszustand in einem bestimmten Punkt eines festen Körpers lässt sich durch die Hauptdehnungen bestimmen, die jeweils an einem durch diesen Punkt gelegten Flächenelement angreifen.
Die Hauptdehnungen liegen in den Hauptdehnungsrichtungen und sind durch einen Winkel
Methode
Die Hauptdehnungen haben die Form:
Methode
Invarianten der Hauptdehnungen
Es gelten auch die gleichen Zusammenhänge für die Invarianten der Hauptdehnungen wie bei den Hauptspannungen:
Methode
Die Invarianten besagen ganz einfach, dass die Summe der Dehnungen immer konstant bleibt!
Merke
Beispiel: Hauptdehnungen und Hauptrichtung
Beispiel
Innerhalb eines Metallblechs werden mittels DMS-Rosette die folgenden Dehnungen gemessen:
Es handelt sich um eine 45°-Rechtwinkel-Rosette mit drei jeweils um 45° gedrehten Gittern.
Wie groß sind die Hauptdehnungen, die Hauptspannungen und die Hauptrichtungen?
Es handelt sich hierbei um eine rechtwinklige Rosette, das bedeutet, dass hier ein neues
Bestimmung der Hauptdehnungen
Die Formel zur Berechnung der Hauptdehnungen lautet:
Folgende Dehnungen sind bereits gegeben:
Aus den Invarianten der Hauptdehnungen kann nun die Dehnung
bzw.
Auflösen nach
Bevor nun mit der Berechnung begonnen werden kann, muss zunächst noch
Subtraktion der beiden Gleichungen:
Auflösen nach
Da sich das
Es gilt:
Es verbleibt dann der folgende Zusammenhang:
Einsetzen der Werte:
Es können nun die Hauptdehnungen bestimmt werden:
Da die Dehnungen in Summe gleich bleiben müssen, gilt:
Bestimmung der Hauptrichtungen
Die Hauptrichtungen bestimmen sich mit der Formel:
Um herauszufinden, welche Hauptdehnung zu dieser Hauptrichtung gehört, verwendet man die Transformationsgleichungen:
Einsetzen aller Werte:
Die ermittelte Hauptrichtung gehört zur Hauptdehnung
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