Inhaltsverzeichnis
Wie in den vorherigen Abschnitten gezeigt, sind die Spannungen
In diesem Abschnitt werden zunächst die HauptNormalspannungen hergeleitet, also diejenigen Normalspannungen, die bei einem bestimmten Winkel
1. Ableitung von
2. Den ermittelten Winkel (Hauptrichtungen) einsetzen in die Ausgangsgleichung
3. Trigonometrische Umformungen und p/q-Formel anwenden, um dann die Hauptspannungen zu bestimmen.
Merke
Zum Schluss folgt die Zusammenfassung der Gleichungen.
Ableitung und Bestimmung der Hauptrichtungen
Die Berechnung der Hauptnormalspannungen erfolgt über die erste Ableitung der Normalspannung
Aus
(1)
Umstellen von (1) nach
Methode
Merke
Wie die 2. Gleichung zeigt, stehen die zwei Hauptrichtungen senkrecht aufeinander.
Hauptnormalspannung berechnen
Die zu diesen zwei Schnittrichtungen gehörenden Normalspannungen, also die Hauptnormalspannungen, erhält man, indem man
Merke
Trigonometrische Umformungen:
Unter Beachtung der trigonometrischen Umformungen erhält man für
Einsetzen von
Nun erfolgt die Umrechnung:
Der 1. Summand bleibt bestehen. Für den 2. Summanden wird folgendes gemacht:
Den Bruch unter dem Bruchstrich erst einmal auf einen Nenner bringen:
Da der Bruch unter dem Bruchstrich liegt, kann dieser mit dem Kehrwert multipliziert werden, es folgt:
Für den 3. Summanden gilt:
Insgesamt ergibt sich also der Term:
Wenn man die gesamte Vorgehensweise nochmals für
Methode
Insgesamt ergibt sich also für die Extremwerte (Hauptnormalspannungen):
Berechnung der Hauptnormalspannungen aus den Invarianten
Die einfachste Möglichkeit zur Berechnung der Hauptnormalspannungen erfolgt über die Invarianten. Es gelten die folgenden zwei Invarianten für die Hauptnormalspannungen:
Methode
Aus diesen Invarianten erhält man mit Hilfe der ersten Gleichung:
Setzt man diese Gleichung nun in die 2. Gleichung ein, so folgt daraus:
Unter Verwendung der bekannten pq-Formel
erhält man für die quadratische Gleichung die beiden Lösungen:
Methode
Insgesamt ergibt sich also für die Extremwerte (Hauptnormalspannungen):
Die beiden Formeln zur Berechnung der Hauptnormalspannungen führen zum selben Ergebnis!
Zusammenfassung der Gleichungen für die Hauptnormalspannung
Zur Berechnung der Hauptnormalspannungen, also der Extremwerte der Normalspannungen, kann die folgende Gleichung verwendet werden:
Methode
Die dazugehörige Hauptrichtung, also die Drehung des Ausgangskoordinatensystems um einen bestimmten Winkel, so dass die Hauptnormalspannungen auftreten, erfolgt durch:
Methode
Um den Winkel
Methode
Nicht vergessen den resultierenden Winkel noch durch
Fehlen von Schubspannungen
Dort wo die Normalspannungen ihre Extremwerte
Zusammenfassend kann gesagt werden:
Merke
Merke
Merke
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