Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken

Im Folgenden sollen die Schnittgrößen eines Balkens bestimmt werden. Betrachtet werden in diesem Fall nur Kräfte, die senkrecht zur Längsachse wirken, sowie Momente , die auf den Balken wirken. 

Für die Bestimmung der Schnittgrößen am Balken empfiehlt sich die folgende Vorgehensweise:

Schnitte am ebenen Balken sind immer dann notwendig, wenn Belastungswechsel (Unstetigkeiten) auftreten. Hierbei unterscheidet man zwischen statischen und geometrischen Unstetigkeiten. 

Statische Unstetigkeiten 

• Einzellasten,
• Knicke in Streckenlasten.

Geometrische Unstetigkeiten

• Knicke der Balkenachse,
• Verbindungselemente [wie beispielsweise Gelenke].

Die oben genannte Vorgehensweise wird im Folgenden anhand eines Beispiels und anhand von Videos demonstriert.

Anwendungsbeispiel: Bestimmung der Querkraftlinie und Momentenlinie eines belasteten Balkens

Koordinatensystem

Wie bereits im vorherigen Abschnitt dargestellt, befindet sich die Normalkraft am linken Schnittufer in Richtung der positiven x-Achse, die Querkraft vertikal nach unten gerichtet in Richtung der positiven z-Achse und das Biegemoment in Richtung der -Achse mit einer Linksdrehung. Diese Koordinatenfestlegung ist wichtig bei Rahmen, beispielsweise um mittels der - und -Achse anzuzeigen, wo sich der Boden befindet.

Bei der Bestimmung der Auflagerkräfte hingegen wird wieder das Vorgehen aus den vorherigen Kapiteln übernommen. Alle Kräfte, die horizontal nach rechts zeigen, werden positiv in die horizontale Gleichgewichtsbedingung eingehen, alle Kräfte die vertikal nach oben zeigen, werden positiv in die vertikale Gleichgewichtsbedingung eingehen und alle Momente die eine Linksdrehung aufweisen, werden positiv in die Momentengleichgewichtsbedingung eingehen. 

Bestimmung der Lagerkräfte

Zuerst erfolgt die Bestimmung der Lagerkräfte und anhand der Momentengleichgewichtsbedingungen:

Die Lagerkraft ist positiv und wurde demnach richtig angenommen eingezeichnet (nach oben gerichtet). 

, da sonst keine horizontalen Kräfte vorhanden.

Bestimmung der Querkraft

Die notwendigen Schnittgrößen folgen aus dem Gleichgewicht am geschnitten Balken. Mit Hilfe des Kräftegleichgewichts lässt sich die Querkraft der einzelnen Bereiche für den linken Balken bestimmen. Da die Querkraft am linken Teilbalken vertikal nach unten gerichtet ist, geht diese mit negativem Vorzeichen in die vertikale Gleichgewichtsbedingung ein:

Schnitt zwischen und :

Schnitt zwischen und :

Schnitt zwischen und :

Schnitt zwischen und :

In der folgenden Grafik (a) sind die vier Schnitte noch einmal grafisch veranschaulicht. In der Grafik (b) wird anhand des ersten Schnittes gezeigt, wie die Querkraft wirkt und dass diese nach unten gerichtet in die vertikale Gleichgewichtsbedingung eingeht (negativ da nach unten gerichtet).

Bestimmung des Biegemoments 

Das Biegemoment für die einzelnen Schnitte wird aus dem Momentengleichgewicht berechnet. Der Bezugspunkt liegt dabei immer im Schnitt und wird bezeichnet mit . Die Vorzeichenkonvention ist wie im gesamten Kurs: Bei einer Linksdrehung positiv, bei einer Rechtsdrehung negativ. Am positiven linken Schnittufer besitzt das Biegemoment eine Linksdrehung und geht damit mit positivem Vorzeichen in die Berechnung ein. Die Querkaft , welche durch den Bezugspunkt verläuft, wird bei der Momentenbestimmung nicht berücksichtigt, da kein Hebelarm vorliegt (Kraft schneidet bereits den Bezugspunkt).

• Schnitt zwischen und :
  
  

Hierbei ist wichtig, wo genau der Schnitt gesetzt wird, da bei der Momentenberechnung der Abstand der Kraft hin zum Bezugspunkt (der Schnitt) wichtig ist. Allgemein kann dabei der 1. Schnitt überall zwischen 0 und 2 m gesetzt werden. Wird dieser bei 1,5 m gesetzt, so wäre . Der Schnitt stellt den Bezugspunkt dar, befindet sich also rechts von . Da nach oben wirkt, dreht sich der Balken rechts um den Bezugspunkt, d.h. ist negativ.

• Schnitt zwischen und :
  
  .

• Schnitt zwischen und :
  
  
  .

• Schnitt zwischen und :
  .

Die Normalkraft wird hier nicht bestimmt, da diese im gesamten Balken gleich Null ist. Grund dafür ist das Fehlen von horizontalen Auflagerkräften.

Querkraftlinie

Die Querkraftlinie wird so eingezeichnet, dass innerhalb der Intervalle keine Änderung auftritt. Das bedeutet also, dass in dem ersten Intervall die Querkraft positiv ist (also nach oben zeigt) und sich erst ändert, wenn das nächste Intervall betrachtet wird. Dort ist die Querkraft (ebenfalls nach oben gerichtet). Im nächsten Teilintervall ist die Querkraft dann , also negativ und demnach nach unten gerichtet. In der Grafik (a) sind die Querkräfte eingezeichnet, in der Grafik (b) dann die Querkraftlinie, die genau zeigt wie lange (in welchem Intervall) eine Querkraft wirkt und wann eine Änderung eintritt.

Diese Lösungsschema lässt sich in gleicher Weise auch auf andere Balkenaufgaben übertragen. 

Momentenlinie

Die Momentenlinie wird aus dem Biegemoment für die jeweiligen Intervalle bestimmt. Für werden die Werte innerhalb des Intervalls eingegeben, die Punkte die sich ergeben eingezeichnet und dann die Punkte miteinander verbunden. Es entsteht die Momentenlinie. Das Biegemoment im ersten Schnitt zwischen und also im Intervall [0, 2] ist . Es werden nun die Werte für im Intervall [0,2] eingegeben und die Punkte miteinander verbunden. Es reicht wenn man den ersten und den letzten Wert des Intervalls (also 0 und 2) für x eingibt und die Punkte miteinander verbindet. Analog verfährt man mit den Biegemomenten für die restlichen Intervalle (z.B. für das zweite Intervall [2,6] gibt man die Werte in die Gleichung für das Biegemoment ein und verbindet die Punkte). Grafisch ergibt sich folgende Momentenlinie:

Der Zusammenhang zwischen Momentenlinie und Querkraftlinie ist so, dass bei positiver Querkraft die Momentenlinie eine positive Steigung und bei negativer Querkraft eine negative Steigung aufweist.

Videos: Schnittgrößen am Balken

Videos: Schnittgrößen am Balken (Kraft mit Winkel)

Im 1. Video muss bei Berechnung der Lagerkraft der Hebelarm für von 25m bei der Momentengleichgewichtsbedingung berücksichtigt werden. Das Ergebnis ist korrekt. Die Gleichung lautet:

Im 3. Video ist für das letzte Biegemoment statt nur angegeben. Korrekt muss es heißen: