Statisch bestimmte Stabwerke (Stabzweischlag)

Die im vorherigen Abschnitt gezeigten Methoden zur Ermittlung von Spannungen und Verformungen können auch auf statisch bestimmte Stabwerke mit mehreren Stäben übertragen werden. Es wird davon ausgegangen, dass nur sehr kleine Stablängenänderungen auftreten, so dass die Verschiebungen der Stäbe ebenfalls sehr klein ausfallen. Das bedeutet, dass die Geometrie des Stabsystems durch die Belastung nur wenig verändert wird und somit die Stabkräfte am unverformten System ermittelt werden können. Die Vorgehensweise erfolgt nach folgendem Schema:

1. Aus den Gleichgewichtsbedingungen am unverformten System werden die Stabkräfte ermittelt.

2. Die Stablängenänderung wird infolge der Stabkräfte ermittelt.

3. Die Verschiebungen werden grafisch skizziert und dann berechnet (z.B. durch Trigonometrie).

Anwendungsbeispiel: Stabzweischlag

Gleichgewichtsbedingungen

Als erstes wird die vertikale Gleichgewichtsbedingung (y-Richtung) betrachtet:

(1)

Danach wird die horizontale Gleichgewichtsbedingung (x-Richtung) betrachtet:

(2)

Aus (1) folgt:

Einsetzen in (2):

Längenänderung

Die Längenänderung für konstante Dehnsteifigkeit, wobei nur eine Kraft wirkt, ergibt sich mit:

Da der Stab hier keiner Temperaturveränderung unterliegt, ist :

Anstelle von treten nun die Stäbe sowie mit:

Der Stab besitzt die Länge .

.

Der Stab besitzt die Länge (siehe Winkelberechnung eines Dreiecks).

Es ist ersichtlich, dass der Stab länger wird (positive Längenänderung ) und dass der Stab kürzer wird (negative Längenänderung ).

Verschiebung

Als nächstes soll die Verschiebung des Knotens in vertikale und in horizontale Richtung betrachtet werden. Dies kann man anhand einer Skizze berechnen. Man weiß nun, dass der Stab sich verlängert (man zeichnet diesen also verlängert ein) und sich der Stab verkürzt (man zeichnet diesen verkürzt ein):

Der Stab wurde um verkürzt und der Stab um verlängert. Es wurde eine Linie der verlängerten Seite von nach unten gezogen (im rechten Winkel). Das Gleiche wurde mit der verkürzten Seite von durchgeführt (ebenfalls im rechten Winkel). Dort wo die Linien sich schneiden, befindet sich die neue Lage des Knotens :

Als Nächstes wird der Ausgangsknoten mit dem verschobenen Knoten verbunden, indem eine vertikale Linie nach unten gezogen (grüne Linie) wird und dann eine horizontale Linie zum Knoten hin (orange Linie). ist dabei die Vertikalverschiebung und die Horizontalverschiebung. Es entstehen zwei Dreiecke. Diese können mit dem Winkel versehen werden (aufgrund des rechten Winkels). Dies muss man sich vorstellen, indem man die Stäbe und in ein Koordinatensystem legt und dupliziert (und dabei dreht). Man wird dann erkennen, dass die gestrichelte graue Linie den Stab widerspiegelt und die schräge Linie (dick schwarz) den Stab . Aus der Aufgabenstellung ist bekannt, dass diese einen Abstand vom Winkel besitzen.

In der obigen Grafik sind die Stäbe und solange gedreht worden, bis das gedrehte (gestrichelte Linie) im rechten Winkel zu dem ursprünglichen steht. Man sieht nun deutlich, dass dies genau dem obigen Teildreieck entspricht und damit den Winkel besitzt.

Horizontalverschiebung

Aus der Grafik Verschiebung ist deutlich zu erkennen, dass

Vertikalverschiebung

Um zu berechnen, müssen beide Teildreiecke miteinander addiert werden. Das erste Teildreieck kann mittels Sinus berechnet:

Umstellen nach :

Bei der Verschiebung werden die Längen immer in Beträge gesetzt, um die gesamte Verschiebung zu bestimmen. 

Das zweite Teildreieck kann mittels Tangens berechnet werden:

Umstellen nach :

Zusammenfassen ergibt:

.