Inhaltsverzeichnis
In diesem Abschnitt sollen die Spannungen und Verformungen infolge von Torsion für dünnwandige, geschlossene, nicht-kreisförmige (!) Profile ermittelt werden. Hierzu werden zwei Annahmen getroffen:
1. Die Wanddicke des Profils ist im Längsverlauf veränderlich, daher
2. Die Form des Querschnitts ist hingegen im Längsverlauf (längs der
Schubspannungen
Im ersten Schritt sollen die Schubspannungen im Querschnitt berechnet werden, die infolge des Torsionsmoments auftreten. Da im Gegensatz zu bisherigen Annahmen auch Wölbungen im Querschnitt auftreten, sind diese zu berücksichtigen. Die Wölbung muss ohne Behinderung auftreten können, da ansonsten neben den Schubspannungen auch Normalspannungen in Richtung der Zylinderachse auftreten [hier x-Achse]. Diese würden als Reaktion auf die Behinderung der Wölbung auftreten.
Merke
Auch in dieser Betrachtung gilt, dass sich der Unterschied zwischen der minimalen und maximalen Schubspannung reduziert, wenn die Wandstärke abnimmt und der mittlere Radius zeitgleich zunimmt.
Hierzu trifft man folgende zusätzliche Annahmen:
3. Die Schubspannung
4. wie bereits erwähnt, ist eine freie Verwölbung (ohne Behinderung) des Querschnitts gegeben (dadurch treten keine Normalspannungen auf).
Wie schon in anderen Fällen wird ein infinitesimales Element aus dem Torsionsstab herausgeschnitten und die Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt. Dies ist die Voraussetzung, um überhaupt die Schubspannungen ermitteln zu können.
Gleichgewichtsbedingung in
Da sich die Wanddicke [
Vereinfachen durch Multiplizieren:
So weit wie möglich kürzen:
Abschließendes Zusammenfassen:
Der besagte Schubfluss
Wichtige Formeln
Im Weiteren wird auf die Herleitung der Formeln verzichtet. Es werden die wichtigen Formeln zur Berechnung des Schubflusses und der Schubspannung bei dünnwandingen geschlossenen Profilen aufgeführt:
Die Schubfluss ist gegeben durch [auf die Herleitung wird verzichtet]:
Methode
Die Fläche
Die Schubspannung lässt sich ermitteln aus
Methode
mit
Die maximale Schubspannung tritt bei minimaler Wanddicke
Methode
Führt man ein Widerstandsmoment mit
Methode
Verformung
Es muss noch die Verformung eines dünnwandigen, geschlossenen Profils betrachtet werden. Die obigen Annahmen gelten weiterhin und eine zusätzliche ist zu treffen:
5. Die Querschnittsgestalt bleibt nach der Verwölbung erhalten.
Die Verdrillung ergibt sich [auf die Herleitung wird verzichtet] mit (2. Bredtsche Formel):
Methode
mit
Ist die Verdrillung überall konstant, so gilt:
Und damit:
Methode
Ist die Wanddicke
und damit für
Methode
Beispiel: Dünnwandiges geschlossenes Profil
Beispiel
Gegeben sei der obige dünnwandige Träger, welcher einen trapezförmigen Querschnitt besitzt.
Es ist die maximale Schubspannung und die Endverdrehung zu bestimmen!
Es ist im Voraus der Flächeninhalt des Trapezes zu bestimmen:
Hinweis
Die obige Fläche entspricht - bei einem dünnwandigen Trägern - der von der Profilmittellinie eingeschlossenen Fläche
Bestimmung der maximalen Schubspannung
Es kann nun die maximale Schubspannung ermittelt werden. Diese liegt vor, wenn die Dicke minimal ist, also bei
Das Torsionsmoment
Insgesamt ergibt sich für die maximale Schubspannung also:
Methode
Bestimmung der Endverdrehung
Um die Verdrehung am Endquerschnitt zu ermitteln, wird die folgende Formel herangezogen:
Es fehlt zur Berechnung der Verdrehung noch
Merke
Das Intergal
Wir beginnen an einem beliebigen Punkt am trapezförmigen Querschnitt. Wir beginnen an der Ecke links unten und integrieren zunächst die untere Seite (
Mit
Wir müssen mit dem Umlaufintergal einen vollen Umlauf (Weg der Profilmittellinie) bis zurück zum Ausgangspunkt vornehmen. Als nächstes betrachten wir die rechte Seite, müssen hier aber noch die Seitenlänge berechnen, da wir nur die vertikale Höhe
Einsetzen in das Umlaufintergal:
Danach gehen wir zur oberen Seite über. Diese ist
Es fehlt noch die linke Seite, welche dieselbe Länge wie die rechte Seite aufweist:
Insgesamt ergibt sich also das Kurvenintergal
Methode
Es kann nun
Einsetzen von
Methode
Es kann nun die Endverdrehung bestimmt werden mit:
Methode
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