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Besitzen zwei Kräfte unterschiedliche Wirkungslinien und unterschiedliche Richtungen, kann der Betrag der Resultierenden durch Vektoraddition unter Berücksichtigung des Winkels zwischen diesen Kräften analytisch ermittelt werden.
Merke
WICHTIG: Die beiden betrachteten Kräfte bzw. deren Wirkungslinien müssen sich in einem Punkt schneiden.
Eine Einführung in die Bestimmung von Resultierenden wird hier im nachfolgenden Video gegeben:
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In aller Regel wird die rechtwinklige Überlagerung zweier Kräfte bei der Berechnung in statischen Systemen vorgegeben, das ist aber nicht der einzige Fall, der real ausschließlich vorkommen kann!
Rechtwinklinge Überlagerung zweier Kräfte
In einem rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras mit
Methode
In der obigen Grafik sind zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt gegeben. Der Winkel zwischen den beiden Kräften ist ein 90°- Winkel. Durch die Parallelogrammdarstellung ergeben sich zwei Teildreicke. Hier kann der Satz des Pythagoras angewandt werden. Dies soll anhand des unteren Teildreiecks demonstriert werden (Vektoraddition):
Die beiden Kräfte
Um den Winkel
In diesem Beispiel:
Der Winkel zwischen der Resultierenden
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Nichtrechtwinklige Überlagerung zweier Kräfte
Bei einer nichtrechtwinkligen Überlagerung kann der Satz des Pythagoras nicht mehr angewandt werden. In diesem Fall bedient man sich des Kosinussatzes.
Merke
Der Kosinussatz ermöglicht die Berechnung einer unbekannten Seite eines Dreiecks, wenn zwei Seiten und der Winkel, welcher von diesen Seiten eingeschlossen wird, gegeben sind.
Um den Kosinussatz formal auszudrücken, soll die folgenden Grafik helfen:
In der obigen Grafik sind die Kräfte
Der Kosinussatz berechnet nun den Betrag der Resultierenden
Methode
Es ist ebenfalls möglich die Resultierende durch den Winkel
Methode
Merke
Achtung: Wird der Winkel
Der Winkel
Methode
Der Winkel
Zusammenfassung:
- Ist der Winkel
gegeben, welcher zwischen den Anfangspunkten der beiden Kräfte liegt, wenn diese in einem gemeinsamen Angriffspunkt angreifen, so wird der Kosinussatz mit dem Pluszeichen verwendet. - Ist hingegen der Winkel
gegeben, welcher zwischen den beiden Kräften liegt bei Anwendung der Vektoraddition, so wird der Kosinussatz mit dem Minuszeichen verwendet.
Wirkrichtung der Resultierenden
Die Richtung der Resultierenden wird durch den Winkel
Merke
Sinussatz
In jedem Dreieck verhalten sich die Längen zweier Seiten wie die Sinuswerte der gegenüberliegenden Winkel.
Der Sinussatz für das obige Beispiel lautet:
Im folgenden Video wird die Problematik (nicht-rechtwinklige Überlagerung) nochmals veranschaulicht:
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Anwendungsbeispiel: Kräfte im nichtrechtwinkligen Dreieck
Beispiel
Gegeben seien folgende Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt und dem eingeschlossenen Winkel
Der Betrag der Resultierenden und ihre Wirkrichtung soll berechnet werden.
Um den Betrag zu ermitteln wird der Kosinussatz angewandt:
1. Möglichkeit
2. Möglichkeit
mit
Je größer der Winkel
Um die Wirkrichtung der Resultierenden zu berechnen wird der Sinussatz angewandt:
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