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Wird ein Körper von mehr als zwei Kräften belastet, so ist ein Kräftegleichgewicht gegeben, sofern die Kraftpfeile grafisch zusammen ein geschlossenes Krafteck bilden.
Gegeben seien die drei Kräfte
Die Antwort kann gegeben werden, wenn hier eine grafische Vektoraddition durchgeführt wird. Liegt ein geschlossenes Krafteck vor, so befindet sich der Balken in Ruhe, ansonsten nicht:
Es ist deutlich zu erkennen, dass hier kein geschlossenes Krafteck vorliegt. Um ein geschlossenes Krafteck zu erhalten, muss eine weitere Kraft eingefügt werden. Diese liegt mit ihrem Fuß an der Spitze der letzten Kraft und mit ihrer Spitze am Fuß der ersten Kraft:
Wird diese zusätzliche Kraft (schwarz) dem Balken hinzugefügt, so befindet sich dieser im Gleichgewicht.
Hier darf in keinem Fall das geschlossene Krafteck mit der Bestimmung der Resultierenden verwechselt werden. Sollen alle drei auf den Balken wirkenden Kräfte zu einer einzigen Kraft zusammengefasst werden, so wird die Resultierende bestimmt, indem diese mit dem Fuß an den Fuß der ersten Kraft gelegt wird und mit der Spitze an die Spitze der letzten Kraft. Die Resultierende ist dabei die Zusammenfassung aller drei Kräfte und hat dieselbe Wirkung auf den Balken wie die drei Kräfte zusammen.
Gleichgewichtsbedingungen
Bei einem gemeinsamen Angriffspunkt der Kräfte in der Ebene stehen zwei Gleichgewichtsbedingungen zur Verfügung:
Methode
Alle Kräfte in
Methode
Alle Kräfte in
Liegen Kräfte vor, die weder in
Merke
Die Gleichgewichtsbedingungen werden in der Statik für ruhende (=im Gleichgewicht befindliche) Körper angewandt, um aus ihnen unbekannte Kräfte zu berechnen.
Anwendungsbeispiel: Kräftegleichgewicht
Beispiel
In diesem Beispiel treten drei Kräfte auf. Die Gewichtskraft
Es soll die Gewichtskraft
Werden nun alle Kräfte mit ihrem Fuß in den Koordinatenursprung gelegt, so kann man die Kräftezerlegung für die Kräfte
Die Kräftezerlegung für
Die Kräftezerlegung für
Hinweis
Da hier die eingeschlossenen Winkel betrachtet werden, müssen die Vorzeichen innerhalb der Berechnungen berücksichtig werden. Dabei gilt: Zeigen die Kräfte in positive Achsenrichtung, dann gehen diese mit einem positiven Vorzeichen in die Berechnungen ein. Analog dazu gehen Kräfte mit einem negativen Vorzeichen in die Berechnungen ein, wenn diese in negative Achsenrichtung zeigen.
Zur Wiederholung:
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Es können nun die beiden Gleichgewichtsbedingungen angewandt werden, um
Für die Vorzeichenkonvention gilt, dass alle Kräfte die in positive
Aus der horizontalen Gleichgewichtsbedingung kann
Für die Vorzeichenkonvention gilt, dass alle Kräfte die in positive
Hier kann nun
Da für
Zur Überprüfung kann man die Kräfte nochmals in die Gleichgewichtsbedingungen eingeben. Diese müssen null ergeben:
Hinweis
Sollen alle Winkel zur positiven
Anwendungsbeispiel: Anwendung des Kosinussatzes
Bei der Bestimmung von unbekannten Winkel in nicht-rechtwinkligen Dreiecken kann der Kosinussatz bzw. Sinussatz angewendet werden. In dem folgenden Beispiel wird zur Bestimmung zweier unbekannter Winkel der Kosinussatz herangezogen:
Auf den dunklen Punkt über
Das dazugehörige Freikörperbild sieht wie folgt aus:
Wie werden nun die Winkel
Merke
Wichtig: Der Kosinussatz kann nur bei drei gegebenen Kräften angewandt werden. Bei mehr als drei Kräften ist dieser nicht mehr anwendbar.
Berechnung von Alpha
Betrachtet wird der Winkel
Es sind nun also die beiden Kräfte
Merke
Trigonometrische Umformung:
Unter Berücksichtigung der trigonometrischen Umformung ergibt sich:
Quadrieren, damit die Wurzel wegfällt:
Auflösen nach
Einsetzen der Werte:
Berechnung von Beta
Bei der Berechnung des Winkels
Unter Berücksichtigung der trigonometrischen Umformung ergibt sich:
Quadrieren, damit die Wurzel wegfällt:
Auflösen nach
Einsetzen der Werte:
Teilresultierende müssen Null ergeben
Wie bereits im vorherigen Beispiel gezeigt, müssen bei einem Kraftdreieck, also bei einem Kräftegleichgewicht, die Teilresultierenden
Anwendungsbeispiel: Sinussatz
In diesem Beispiel soll der Sinussatz aufgezeigt werden um den unbekannten Winkel zu bestimmen:
Das obige Beispiel zeigt ein Gelenk, welches durch das Gewicht
Merke
Sinussatz
In jedem Dreieck verhalten sich die Längen zweier Seiten wie die Sinuswerte der gegenüberliegenden Winkel.
Mithilfe des Kräftedreiecks wird nun der Sinussatz angewandt, um die Seilkräfte zu bestimmen. Da ein Dreieck immer 180° hat, kann man den Winkel
Berechnung der Seilkräfte
Berechnung von
Auflösen nach
Berechnung von
Auflösen nach
Teilresultierende müssen Null ergeben
Wie bereits in den vorherigen Beispielen gezeigt, müssen bei einem Kraftdreieck, also bei einem Kräftegleichgewicht, die Teilresultierenden
Die Berechnung erfolgt wieder mit den Winkeln zur positiven
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