Räumliche Zusammensetzung von Kräften

In diesem Abschnitt wird das allgemeine Kraftsystem im Raum betrachtet. Wie beim ebenen Kraftsystem können auch hier die Kräfte zu Teilresultierenden in -, - und -Richtung zusammengefasst werden und am Ende zu einer einzigen Resultierenden mit dem Betrag

mit und .

Die Momente der Kräfte können ebenfalls in einem einzigen resultierenden Momentenvektor ausgedrückt werden:

mit

Gleichgewicht im Raum

Ein räumliches Kräftesystem befindet sich im Gleichgewicht, wenn die Resultierende und das resultierende Moment bezüglich des Bezugspunktes verschwinden (gleich null sind). Somit gilt auch für die Teilresultierenden

und für die Momente der Teilresultierenden

.

Anwendungsbeispiel: Kräfte im Raum

Die Resultierende wird aus den drei Teilresultierenden , und berechnet. Dazu benötigt man das Einzeichnen des Koordinatensystems. Der Bezugspunkt ist dabei der Koordinatenursprung. Die Kräfte werden solange parallel zu sich selbst verschoben, bis diese die Wirkungslinie des Bezugspunktes schneiden. 

Berechnung der Teilresultierenden

          (alle anderen fallen weg)

Betrag der Resultierenden

Berechnung des Moments

Die einzelnen Momente werden unter Berücksichtigung ihrer Abstände zum Bezugspunkt berechnet. Auch hier kann man zuerst die Teilmomente für die Teilresultierenden in -, - und -Richtung bestimmen. Dies dient der besseren Übersicht und kann später bei der Lösung verschiedener Aufgaben angewandt werden.

Im nächsten Schritt soll als erstes gezeigt werden, wie die Teilmomente berechnet werden. Am einfachsten kann man sich das anhand einer Grafik deutlich machen:

Es wird zunächst die -Achse betrachtet und das Moment für die Teilresultierende gesucht. Es sind alle Kräfte und ihr Hebelarm von Bedeutung, die um die -Achse rotieren. Betrachtet man zum Beispiel in der obigen Grafik, so ist zu sehen, dass nicht auf der -Achse liegt (d.h. die Wirkungslinie schneidet nicht die x-Achse) und damit schon mal in Betracht gezogen wird. Als nächstes ist wichtig, ob ein Hebelarm so gegeben ist, dass um die -Achse rotiert. Die Seite würde zu keiner Rotation um die -Achse, sondern um die -Achse führen. Die Seite hingegen führt zu einer Rotation um die -Achse, weshalb hier ein Moment für die Teilresultierende gegeben ist.

So verfährt man mit jeder Kraft. Die Kraft beispielsweise fällt weg, da ihre Wirkungslinie die -Achse schneidet. Genau wie die Kräfte und . Es bleiben die Kräfte und zu überprüfen. rotiert mit Seite um die -Achse und mit Seite um die -Achse (Seite ist nicht von Bedeutung, da diese mit der Kraft keinen Hebelarm und damit keine Rotation erzeugt). rotiert mit Seite um die -Achse und mit Seite um die -Achse. Das bedeutet wir haben ein zweites Moment. Als nächstes ist noch die Richtung von Bedeutung. Mit dem Uhrzeigersinn negativ und entgegen positiv, ergibt das Teilmoment für :

Das obige Vorgehen wird jetzt für die Teilresultierenden und wiederholt. Die Teilmomente sind:

Aufstellung des Momentenvektors und Berechnung des Betrages

Die Teilmomente können dann in einem Momentenvektor zusammengefasst werden

der Betrag ergibt sich dann (siehe Höhere Mathematik 1: Vektoren):