Inhaltsverzeichnis
In diesem Abschnitt wird das im vorherigen Abschnitt grafisch gelöste Optimierungsproblem mittels primalen Simplexverfahren gelöst. Es müssen folgenden Voraussetzungen vorliegen, damit das primale Simplexverfahren angwandt werden kann:
- Es muss die Standardform vorliegen (Maximierungsproblem, Kleiner/Gleich-Nebenbedingung, Nichtnegativitätsbedingung)
- Die Standardform muss dann in die Normalform überführt werden (Gleichheitsbedingung) mittels Einführung von Schlupfvariablen.
- Es müssen nicht-negative Koeffizienten auf der Rechten-Seite der Nebenbedingungen vorliegen (
, für alle ).
Liegt nicht die Standardform vor, so muss das gegebene Optimierungsmodell noch in diese überführt werden. Entsprechende Vorgehensweise kann dem Abschnitt Umformung in die Standardform entnommen werden.
Beispiel 1: Primales Simplexverfahren
Es ist das folgende Optimierungsproblem gegeben (siehe vorherigen Abschnitt):
u.d.N.
Das Optimierungsproblem liegt in Standarform vor. Es muss nun noch in die Normalform überführt werden. Dies geschieht, indem Schlupfvariablen eingeführt werden und dadurch die
u.d.N
Nachdem nun das Optimierungsproblem in die Normalform überführt worden ist, kann als nächstes das Tableau aufgestellt werden:
Dieses Anfangstableau besitzt bereits eine 1. Basislösung (Voraussetzung für das primale Simplexverfahren). Diese Basislösung stellt eine zulässige jedoch keine optimale Lösung dar. Die zulässige Lösung lautet wie folgt:
Es werden also keine der beiden Produkte hergestellt, somit stehen die Kapazitäten im vollen Umfang zur Verfügung. Der Zielfunktionswert beträgt demnach den Wert
Um nun eine optimale Lösung zu erhalten, wird als nächstes das Primale Simplexverfahren angewandt. Dazu werden zunächst Pivotspalte, Pivotzeile und Pivotelement ausgewählt:
Zunächst wird die Pivotspalte bestimmt. Diese wird ausgewählt, indem der kleinste negative Wert der Zielfunktionszeile (unterste Zeile) gewählt wird (hier:
Es kann nun begonnen werden den 1. Simplexschritt durchzuführen. Die Basisvariable und Nichtbasisvariable des Pivotelements müssen für das neue Tableau vertauscht werden:
Das obige Tableau ist für den 1. Simplexschritt ermittelt worden. Es wurde wie folgt vorgegangen:
Das Pivotelement geht mit seinem reziproken Wert ein:
Die neuen Elemente der Pivotzeile werden ermittelt, indem die alten Werte durch das Pivotelement geteilt werden.
Die neuen Elemente der Pivotspalte werden ermittelt, indem die alten Werte durch das Pivotelement geteilt und mit
Die restlichen Werte werden bestimmt indem der alte Wert abzüglich der alten Werte aus zugehöriger Pivotspalte mal Pivotzeile durch Pivotelement berechnet wird. Z.B.: Der Wert
Der Zielfunktionswert wurde ermittelt, indem die Basisvariablen mit den Werten der rechten Seite in die Zielfunktion eingesetzt werden:
Weiterer Simplexschritt
Da noch ein negativer Wert in der Zielfunktionszeile auftaucht, kann ein weiterer Simplexschritt durchgeführt werden, um den Zielfunktionswert weiter zu maximieren.
Es werden zunächst wieder Pivotspalte, Pivotzeile und Pivotelement ausgewählt:
Zunächst wird die Pivotspalte bestimmt. Diese wird ausgewählt, indem der kleinste negative Wert der Zielfunktionszeile (unterste Zeile) gewählt wird (hier:
Es kann nun begonnen werden den Simplexschritt durchzuführen. Die Basisvariable und Nichtbasisvariable des Pivotelements müssen für das neue Tableau vertauscht werden:
Es handelt sich bei dem obigen Tableau um das Endtableau, da keine negativen Werte mehr in der Zielfunktionzeile vorhanden sind. Es werden für
Der Gewinn für das Unternehmen beträgt demnach 2.733 €. Im vorherigen Abschnitt ist ein Gewinn in Höhe von 2.710 € ermittelt worden. Der Unterschiedsbetrag lässt sich auf die Rundungen der Mengen zurückführen. Am Ende ist aber klar, dass beide Verfahren zum selben Ergebnis führen.
Merke
Das im Normalfall nur ganze Mengen produziert bzw. abgesetzt werden können, soll in diesem Beispiel vernachlässigt werden.
Die Kapazitäten der Maschine 2 und der Montagearbeiter werden zu 100% ausgenutzt. Dies sieht man an den Schlupfvariablen
Es bleibt also
Es bleibt also für
Für die Kapazität der Maschine 1 hingegen (siehe zunächst Tableau) bleiben
Es bleibt also für
Beispiel 2: Primaler Simplexalgorithmus
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Beispiel 3: Primaler Simplexalgorithmus
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