Inhaltsverzeichnis
Wirken äußere Momente und/oder Querkräfte auf den Balken, so führt dies zu einer Verformung der Balkenachse aufgrund des auftretenden Moments um die
In der obigen Grafik erfolgt die Durchbiegung des Balkens aufgrund einer äußeren Streckenlast in
Wir gehen im Folgenden von der Gültigkeit der Normalenhypothese von Bernoulli, sowohl bei reiner als auch bei Querkraftbiegung, aus. Liegt also Querkraftbiegung vor, können wir den Anteil der Durchbiegung infolge der Schubverformung vernachlässigen (folgt im nachfolgenden Kurstext).
Hinweis
Wir bestimmen also im Weiteren die Durchbiegung des Balkens aufgrund der auftretenden Biegespannungen
Im Abschnitt der reinen Biegung haben wir die folgenden Zusammenhänge bestimmt:
Gleichsetzen führt auf:
Der Kehrwert des Krümmungsradius ist die Krümmung:
Bei der Querkraftbiegung - im Gegensatz zur reinen Biegung - ist das Moment veränderlich, also abhängig von
In der obigen Grafik ist die Kurve
Für die Krümmung
mit
Wir müssen nun noch klären, welches Vorzeichen für
Unter Beachtung des Koordinatensystems (
Hinweis
Dreht ihr das Koordinatensystem so, dass die
Bei einer Rechtskrümmung ist die 2. Ableitung der Funktion
Methode
Diese Gleichung ist nicht linear. Da wir aber die linear-elastische Verformung betrachten (Hookesche Gesetz) liegen grundsätzlich immer kleine Verformungen vor. Demnach ergeben sich auch nur sehr kleine Tangentensteigungen
Damit können wir den Term
Methode
mit
Wie wir bereits in vorherigen Abschnitten gezeigt haben, führen auch Temperaturdifferenzen zur Verformung der Balkenachse und damit zur Krümmung der Biegelinie. Treten also Temperaturunterschiede auf, so ergibt sich die Differentialgleichung der Biegelinie unter Berücksichtigung der Gesamtkrümmung zu:
Methode
Die obige Gleichung ist die Differentialgleichung der Biegelinie 2. Ordnung. Diese Gleichung gibt die Gleichung der Durchbiegung eines Balkens in Abhängigkeit von
Wir können die Differentialgleichung der Biegelinie auch in einer alternativen Formulierung angeben. Dazu wird diese 2 mal abgeleitet:
Gehen wir von einem linearen Temperaturverlauf aus, so ist die 2. Ableitung gleich Null:
Die 1. Ableitung des Biegemoments ergibt die Querkraft:
und mit konstanter Biegesteifigkeit
Methode
Die 1. Ableitung der Querkraft (und damit die 2. Ableitung des Biegemoments) führt uns zur Linienlast entlang der
Gehen wir davon aus, dass die Biegesteifigkeit
Methode
Hierbei handelt es sich um die Differentialgleichung 4. Ordnung. In der ersten Grafik ist eine Linienlast auf den Balken gegeben. Mithilfe dieser letzten Formel kann somit die Biegelinie
Es gilt außerdem der folgende Zusammenhang:
Methode
Diese Gleichung wird herangezogen, wenn nach dem Drehwinkel der Balkenachse in einem bestimmten Punkt gefragt wird.
Merke
Wichtig ist, dass bei jeder Integration Integrationskonstanten auftreten. Diese können aus den Randbedingungen bestimmt werden.
Randbedingungen
Die Randbedingungen für verschiedene Lagerungen können Tabellenwerken entnommen werden. Hier eine kleine Übersicht:
Beispiel: Biegelinie und Krümmung
Beispiel
Gegeben sei der obige Balken mit konstanter Biegesteifigkeit EI. Dieser wird durch eine konstante Streckenlast belastet. Bestimme die Biegelinie sowie die Krümmung!
Bestimmung der Biegelinie
Da in der Aufgabe eine Streckenlast über die gesamte Balkenlänge wirkt, können wir zur Bestimmung der Biegelinie die folgende Gleichung heranziehen:
Methode
Dazu benötigen wir noch den Verlauf
1. Integration:
2. Integration:
3. Integration:
4. Integration:
Als Nächstes werden die Randbedingungen herangezogen. Wir haben ein Festlager gegeben bei x = 0 (x-Achse beginnt am Balkenanfang) und ein Loslager bei x = l.
Aus der obigen Tabelle lesen wir das Folgende ab:
Für das Festlager gilt: w = 0, M= 0
Für das Loslager gilt w = 0, M = 0
Hinweis
w = 0 bedeutet, dass beim Festlager/Loslager keine Verschiebung in z-Richtung (vertikal) stattfinden kann, weil das Festlager/Loslager vertikale Kräfte überträgt.
Es gilt der folgende Zusammenhang:
Zunächst betrachten wir das Festlager bei x = 0 und die Biegelinie EIw. Es gilt w = 0:
Einsetzen von w = 0 für x = 0:
Methode
Des Weiteren gilt für das Festlager M = 0. Dazu ziehen wir die 2. Ableitung der Biegelinie heran:
Einsetzen von M = 0 für x = 0:
Methode
Danach betrachten wir das Loslager bei x = l. Es gilt w = 0:
Einsetzen von w = 0 für x = l sowie C2 = 0 und C4 = 0:
Des Weiteren gilt für das Loslager M = 0. Dazu ziehen wir die 2. Ableitung der Biegelinie heran:
Einsetzen von M = 0 für x = l sowie C2 = 0 :
Methode
Einsetzen in die Integrationskonstante C3:
Zusammenfassen:
Methode
Die Integrationskonstanten können als Nächstes in die Biegelinie EIw eingesetzt werden:
Die Durchbiegung w ergibt sich dann durch Division von EI:
Ist eine positive Durchbiegung gegeben, so erfolgt die Durchbiegung in Richtung der positiven z-Achse (nach unten). Ist eine negative Durchbiegung gegeben, so erfolgt die Durchbiegung in Richtung der negativen z-Achse (nach oben).
Bestimmung der Krümmung
Für die Krümmung gilt:
Es muss hier nicht extra das Schnittmoment
Einsetzen der Integrationskonstanten:
Auflösen nach w'':
Es gilt:
Methode
Bestimmung des Schnittmoments
Das Schnittmoment
Damit ist:
Methode
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