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Wir wollen in diesem Abschnitt die Spannung und Dehnung bei reiner Biegung bestimmen. Es gilt weiterhin die Normalenhypothese von Bernoulli:
- Die Querschnitte bleiben also auch nach der Verformung im 90°-Winkel auf der Balkenachse (=neutrale Faser) stehen.
- Die neutrale Faser ändert auch nach der Verformung ihre Länge nicht.
Anhand der Kreisbogenlänge
Die obige Grafik zeigt zwei Nachbarquerschnitte nach der Verformung. Wir können nun zunächst die Kreisbogenlänge der unteren Randfaser bestimmen zu:
Dabei ist
Ist
Methode
Krümmung
Die Krümmung
Methode
Lineare Dehnungsverteilung
Das Ausmaß der Dehnung der Faser lässt sich über die Abstände zweier gewählter Punkte vor und nach der Verformung ermitteln. Bei der Wahl der Punkte ist darauf zu achten, dass beide einen identischen Wert für die z-Achse besitzen. In der obigen Grafik sollen das die Punkte
Methode
Nach dem Kürzen der obigen Gleichung erhält man die in
Methode
Einsetzen von
Methode
Lineare Spannungsverteilung
Mit Hilfe des Hookeschen Gesetzes lässt sich schließlich auch die lineare Spannungsverteilung
Methode
Setzen wir nun die lineare Dehnungsverteilung
Methode
mit
Zugspannungen liegen vor, wenn
Biegemoment und Normalspannung
Um nun die Normalspannung
Methode
Einsetzen von
Liegt ein konstantes
Hierbei ist
Wir betrachten als Nächstes die lineare Spannungsverteilung
und stellen diese um
Die obige Gleichung setzen wir als nächstes ein in
Umgestellt nach der Normalspannung
Methode
Hier ist die Spannung nicht mehr vom Flächeninhalt selbst abhängig, sondern vom Flächenträgheitsmoment
Die maximale Normalspannung
Merke
Die obige Formel wird zur Berechnung der Normalspannung bei gerader reiner Biegung herangezogen.
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