Dehnung: Aufgaben und Lösungen

Beispiel 1: Hängender Stab

Bestimmung der Normalspannung

Hierzu wird ein Schnitt durchgeführt. Der Abstand von oben zum Schnitt hin wird mit bezeichnet. Die Normalkraft steht senkrecht auf der Querschnittsfläche.

Die Normalkraft ist in diesem Stab nicht konstant, weil die Gewichtskraft in Richtung der Stabachse wirkt und aufgrund der Schwerkraft damit eine Linienlast gegeben ist. Mit zunehmender Länge steigt demnach auch die Normalkraft im Stab. Bei einem horizontalen Stab hingegen ist die Gewichtskraft keine Linienkraft, weil die Gewichtskraft dann nicht in Richtung der Stabachse wirkt.

ist dabei das Gewicht des gesamten Stabes. Führen wir nun bei einen Schnitt durch, so müssen wir die Gewichtskraft für das betrachtete Stabelement berechnen:

.

Die Gleichgewichtsbedingung ergibt:

Die Normalkraft ist definiert als:

Einsetzen von ergibt:

.

Einsetzen der Werte:

Die Spannung ist also für (am oberen Ende des Stabes) am größten und liegt dann bei (die Klammer wird 1) und am unteren Ende für bei .

Berechnung der Stabverlängerung

Zunächst sollte man sich vorher überlegen, welche Differentialgleichung hier herangezogen werden sollte. Für die Differentialgleichung 1. Ordnung benötigen wir die Normalkraft, welche im obigen Beispiel eine Vertikalkraft darstellt. Schneiden wir den obigen Stab frei, so haben wir eine unbekannte vertikale Auflagerkraft (Einspannung) gegeben. Uns steht in der Ebene eine vertikale Gleichgewichtsbedingung zur Verfügung, mit welcher wir die unbekannte Auflagerkraft berechnen können.

Das wiederum bedeutet, dass wir auch die Normalkraft aus der vertikalen Gleichgewichtsbeding berechnen können. Ist dies der Fall, so können wir die Differentialgleichung 1. Ordnung heranziehen:

Differentialgleichung 1. Ordnung

Da wir keine Temperaturänderung gegeben haben, ergibt sich:

Für die Differentialgleichung 1. Ordnung wird die Normalkraft benötigt, welche wir bereits oben berechnet haben:

Einsetzen in die Differentialgleichung ergibt:

Integration:

    |konstante Faktoren nach vorne ziehen

Die Integrationskonstante kann aus den Randbedingungen an den Stabenden ( und ) bestimmt werden. Für das eingespannte Stabende gilt, dass die Verschiebung hier gleich null ist für . Man erhält also:

Es gilt demnach:

Um nun daraus die Stabverlängerung zu bestimmen, müssen die Stabenden ( und ) betrachtet werden:

Der letzte Summand wird Null:

Einsetzen der Werte:

Die Längenänderung beträgt:

Der Stab verlängert sich um . Insgesamt ist der Stab, durch die Linienlast, die sich aufgrund des Eigengewichts ergibt, von 20 cm auf 20,000001053Elx = 0lxpp(x)$-Richtung gehen, um an den Endpunkt der Gerade zu gelangen:

Die Gerade beginnt im Koordinatenursprung, weshalb ist. Es ergibt sich demnach die Geradengleichung:

Die Geradengleichung entspricht der Linienlast entlang der Stabachse. Einsetzen in die Differentialgleichung 2. Ordnung führt auf:

1. Integration:

2. Integration:

Es ergibt sich:

Es handelt sich hierbei um eine unbestimmte Integration, für welche gilt: . Dabei ist die Integrationskonstante. 

In unserem Fall haben wir zwei Integrationen und damit zwei Integrationskonstanten. Wir dürfen bei der 2. Integration die Integrationskonstante der 1. Integration nicht vergessen mit zu integrieren.

Die Integrationskonstanten werden nun mittels Randbedingungen berechnet. Dabei betrachten wir den Stabanfang und das Stabende und überlegen uns, welche Werte annimmt. Am Stabanfang ist der Stab fest eingespannt. Hier kann keine Verschiebung stattfinden:

für    Stabanfang

Dasselbe gilt auch für das Stabende:

für

Mittels dieser Randbedingungen können wir die Integrationskonstanten berechnen:

Wir setzen und und erhalten damit:

Wir erhalten demnach:

Als Nächstes setzen wir und ein:

            |

                  |kürzen

Es ergibt sich demnach:

Der Verschiebungsverlauf ist also gegeben zu:

Der Normalkraftverlauf ergibt sich aus der Ableitung des Verschiebungsverlaufes:

        Differentialgleichung 1. Ordnung

Die Verschiebung ist maximal, wo ihre Ableitung, also die Normalkraft gleich Null ist:

Nach auflösen:

  (Muss ein positiver Wert sein)