Dehnung: Aufgaben und Lösungen

Beispiel 1: Hängender Stab

In der obigen Grafik ist die linear verteilte Linienlast gegeben. Wir haben diese Linienlast um 90° gedreht (und die dazu gehörige -Achse) um diese in ein Koordinatensystem einzeichnen zu können. Es ist deutlich zu erkennen, dass es sich hierbei um eine Gerade handelt, welche im Ursprung beginnt und eine positive konstante Steigung aufweist. Die Geradengleichung ergibt sich zu:

Wobei die Steigung darstellt und der Beginn der Gerade auf der -Achse. Wir beginnen damit, die Steigung zu bestimmen. Beginnen wir im Ursprung des Koordinatensystems, so müssen wir Schritte in positive -Richtung und Schritte in positive -Richtung gehen, um an den Endpunkt der Gerade zu gelangen:

Die Gerade beginnt im Koordinatenursprung, weshalb ist. Es ergibt sich demnach die Geradengleichung:

Die Geradengleichung entspricht der Linienlast entlang der Stabachse. Einsetzen in die Differentialgleichung 2. Ordnung führt auf:

1. Integration:

2. Integration:

Es ergibt sich:

Es handelt sich hierbei um eine unbestimmte Integration, für welche gilt: . Dabei ist die Integrationskonstante. 

In unserem Fall haben wir zwei Integrationen und damit zwei Integrationskonstanten. Wir dürfen bei der 2. Integration die Integrationskonstante der 1. Integration nicht vergessen mit zu integrieren.

Die Integrationskonstanten werden nun mittels Randbedingungen berechnet. Dabei betrachten wir den Stabanfang und das Stabende und überlegen uns, welche Werte annimmt. Am Stabanfang ist der Stab fest eingespannt. Hier kann keine Verschiebung stattfinden:

für    Stabanfang

Dasselbe gilt auch für das Stabende:

für

Mittels dieser Randbedingungen können wir die Integrationskonstanten berechnen:

Wir setzen und und erhalten damit:

Wir erhalten demnach:

Als Nächstes setzen wir und ein:

            |

                  |kürzen

Es ergibt sich demnach:

Der Verschiebungsverlauf ist also gegeben zu:

Der Normalkraftverlauf ergibt sich aus der Ableitung des Verschiebungsverlaufes:

        Differentialgleichung 1. Ordnung

Die Verschiebung ist maximal, wo ihre Ableitung, also die Normalkraft gleich Null ist:

Nach auflösen:

  (Muss ein positiver Wert sein)