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Verschiebungsgleichungen sind dann aufzustellen, wenn Knotenverschiebungen
Merke
Aus den aufzustellenden Verschiebungsgleichungen können später die unbekannten Festhaltekräfte berechnet werden, die auftreten, um die unbekannte Knotenverschiebung zu unterbinden.
Die Anzahl der aufzustellenden Verschiebungsgleichungen
Methode
mit
Haben wir also den Grad der elastischen Verschieblichkeit gegeben, so kennen wir die Anzahl der aufzustellenden Verschiebungsgleichungen. Wir der Grad der elastischen Verschieblichkeit bestimmt wird, zeigen wir euch im Folgenden.
Grad der elastischen Verschieblichkeit
Ein Tragwerk ist elastisch verschieblich, wenn sich die Knoten nicht nur verdrehen, sondern auch infolge der Biegebeanspruchung verschieben können.
Der Grad
- Dem System werden an seinen Knoten einwertige Lager hinzugefügt, die die
Knotenverschiebungen verhindern. Die Anzahl der erforderlichen Lager entspricht
dem Gradder Verschieblichkeit (manchmal nicht sofort ersichtlich). - An allen Knoten des Systems werden Gelenke eingefügt. Ist das entstandene System
statisch bestimmt oder unbestimmt, so ist. Ist es dagegen kinematisch
verschieblich, so entspricht der Grad der kinematischen Verschieblichkeit dem
Gradder elastischen Verschieblichkeit des gegebenen Systems. Wird mit
Hilfe eines Abzählkriteriums festgestellt, so giltfür .
Das Abzählkriterium zur Bestimmung der statischen Unbestimmtheit eines Tragwerks lautet:
Methode
mit
Alternativ kann auch das folgende Abzählkriterium für ebene Stabtragwerke herangezogen werden:
Methode
mit
Vorgehensweise
Zur Bestimmung des Grades der elastischen Verschieblichkeit wählen wir im Nachfolgenden die 2. Möglichkeit. Wir fügen also zunächst an jeden Knotenpunkt (biegesteife Ecke) ein Momentengelenk ein. Ziel ist es, dass die Knoten keine Momente übertragen, also
Merke
Das Einfügen von Momentengelenke erfolgt so, dass jeder Knoten (auch Auflagerknoten) gelenkig ist.
Nachdem alle relevanten Knoten mit Momentengelenken versehen wurden, wird das Abzählkriterium angewendet. Resultiert
Beispiele zum Grad der elastischen Verschieblichkeit
Zum besseren Verständnis wollen wir uns im Nachfolgenden ein Beispiel dazu ansehen:
1. Schritt: Wir bringen nun an jeden Knotenpunkt Momentengelenke an (sofern nicht bereits vorhanden). Auch an den festen Einspannungen müssen wir Momentengelenke anbringen, damit dort
Hinweis
Bei Festlager und Loslager müssen keine Momentengelenke eingefügt werden, da bei diesen Lagerarten bereits
2. Schritt: Im nächsten Schritt wenden wir das Abzählkriterium an, um herauszufinden, ob das System kinematisch ist (kinematisch für
Infolge der Momentengelenke bei den festen Einspannungen werden hier nur noch die vertikalen und horizontalen Auflagerkräfte übertragen und keine Momente mehr. Wir haben also 4 Auflagerreaktionen (
Methode
Anwenden:
Die alternative Abzählformel ist:
Methode
Mit
Das System ist kinematisch, damit ist der Grad der elastischen Verschieblichkeit gegeben mit:
Methode
Die Anzahl der aufzustellenden Verschiebungsgleichungen entspricht dem Grad
Methode
Merke
Für das obige Stabtragwerk muss demnach genau eine Verschiebungsgleichung aufgestellt werden.
Merke
Der Grad
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