Stetigkeit und Unstetigkeit

Wie bei Funktionen mit einer Variablen kann auch für Funktionen mit mehreren Variablen die Stetigkeit definieren. Man kann dies aus der bereits in "Höhere Mathematik I" erlernten Definition ableiten:

Eine Funktion    mit    heißt an der Stelle    stetig, wenn

1. 
   
   
2.   mit  
   
   
3. .

 Dies bedeutet vereinfacht, eine stetige Funktion darf keine Sprünge machen.

Stetigkeit 

Es soll gezeigt werden, dass

Für ist stetig als Zusammensetzung stetiger Funktionen. Hierfür muss nichts weiter gezeigt werden. Nur die Stetigkeitsuntersuchung im Nullpunkt bzw. für ist interessant.

Folgendefinition

Man kann dies z.B. anhand der Folgendefinition zeigen: 

Als erstes wird die Folge untersucht:

:

Danach die Folge:

:

Und zusätzlich noch die Folge:

mit :

Da der Grenzwert überall den Wert aufweist, existiert dieser schonmal. Jetzt muss noch geprüft werden, ob der Funktionwert mit dem ermittelten Grenzwert übereinstimmt:

Der Grenzwert stimmt mit dem Funktionswert überein, d.h. dass die Funktion für stetig ist.

Stetigkeitsuntersuchung im Nullpunkt

Man kann die Stetigkeitsuntersuchung im Nullpunkt mithilfe von Polarkoordinaten zeigen. Dies ist vor allem dann nützlich, wenn es sich um rationale Funktionen handelt. Man setzt dafür:

und lässt gegen Null laufen.

Erhält man dann einen Grenzwert der unabhängig vom Winkel ist und der sogar den Wert Null hat, dann wurde gezeigt, dass die Funktion in dem betrachteten Punkt stetig ist.

Der Grenzwert ist vom Winkel unabhängig und besitzt sogar den Wert Null, demnach ist die Funktion im Nullpunkt stetig.

Unstetigkeit

Eine Funktion ist bei unstetig, falls zu zwei verschiedenen Kurven durch Annäherung von an verschiedene oder keine Grenzwerte gibt. 

Als erstes wird die Folge untersucht:

:

Danach die Folge:

:

Bereits hier wird deutlich, dass die Grenzwerte nicht übereinstimmen, demnach für den Punkt kein Grenzwert existiert und damit die Funktion nicht stetig ist.