Stetigkeit einer Funktion

Stetigkeit von Funktionen

Eine mathematische Funktion heißt an der Stelle stetig, wenn:

1. der Funktionswert definiert ist.
   
   
2. der Grenzwert existiert.
   
   
3. der Grenzwert mit dem Funktionswert übereinstimmt.

Ist eine Funktion an der Stelle nicht definiert, so brauchst du dich nicht zu fragen, ob diese in stetig ist.

Damit wir eine Funktion stetig nennen können, muss folgende Bedingung erfüllt sein:

Anders formuliert bedeutet dies, dass Funktionen stetig sind, die innerhalb ihres Definitionsbereiches nicht unterbrochen sind. Beispiele für stetige Funktionen sind:

• rationale Funktionen wie die lineare, die quadratische oder die Potenzfunktion
• bestimmte trigonometrische Funktionen wie die Sinusfunktion
• Exponential oder Wurzelfunktionen
• weitere differenzierbare Funktionen

Unstetigkeit von Funktionen

Eine mathematische Funktion heißt an der Stelle unstetig, wenn

1. der Funktionswert definiert ist.
   
   und mindestens eine der beiden Aussagen zutrifft:
   
   
2. Der Grenzwert existiert nicht.
   
   
3. Der Grenzwert stimmt nicht mit dem Funktionswert überein.

Bestimmung der Stetigkeit von Funktionen

Ob eine Funktion stetig ist oder nicht, können wir mit dem rechtsseitigen und linksseitigen Grenzwert bestimmen. Dazu addieren bzw. subtrahieren wir einen beliebig kleinen Wert zu dem und lassen diesen gegen null konvergieren.

Sind diese

1. gleich und
2. der ermittelte Wert stimmt mit dem Funktionswert an dieser Stelle überein,

so ist die Funktion an der betrachteten Stelle stetig:

Beispiel 1 zur Bestimmung der Stetigkeit von Funktionen

Beispiel 2 zur Bestimmung der Stetigkeit von Funktionen

Wir sehen, dass an  der Stelle ist die Funktion definiert ist. Wir können somit prüfen, ob die Funktion stetig ist, indem wir uns von links und rechts dem Grenzwert nähern.

Rechtsseitige Annäherung

Zuerst formen wir Zähler und Nenner der Funktion um:

Wir addieren und lassen es gegen null gehen:

Linksseitige Annäherung

Wir formen um:

Wir substrahieren und lassen es gegen null gehen:

Wie du siehst, ist die Funktion an der Stelle stetig, da sie an dieser Stelle defininert ist, der rechts- und linksseitige Grenzwert gleich sind und dass der Grenzwert mit dem Funktionswert übereinstimmt.