Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten können relativ einfach gelöst werden. 

homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

Ist die Differentialgleichungen der Form 

,

mit Konstanten gegeben, so löst man die homogene Differentialgleichung 

mit Hilfe des Ansatzes 

.

Hieraus erhält man die charakteristische Gleichung

. 

Alle linear unabhängigen Funktionen bilden eine Lösungsbasis der Differentialgleichung. Die allgemeine Lösung ist

Nachstehend eine Tabelle mit Nullstellen der charakteristischen Gleichung und die zugehörigen Basislösungen.

Anwendungsbeispiel: Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

Zuerst gilt es die homogene Differentialgleichung als charakteristische Gleichung darzustellen

.

Anschließend bestimmt man die Lösungen der charakteristischen Gleichung

.

Nun ist es auch möglich die linear unabhängigen Lösungen zu bestimmen

.

Im letzten Schritt erzeugt man aus den lin. unabhängigen Lösungen die Gesamtlösung der Differentialgleichung

Zuerst gilt es die homogene Differentialgleichung als charakteristische Gleichung darzustellen

Anschließend bestimmt man die Lösungen der charakteristischen Gleichung

Anwendung der p/q-Formel:

Nun ist es auch möglich die linear unabhängigen Lösungen zu bestimmen

Im letzen Schritt erzeugt man aus den lin. unabhängigen Lösungen die Gesamtlösung der Differentialgleichung

Zuerst gilt es die homogene Differentialgleichung als charakteristische Gleichung darzustellen

Anschließend bestimmt man die Lösungen der charakteristischen Gleichung

   Dreifache Nullstelle

Nun ist es auch möglich die linear unabhängigen Lösungen zu bestimmen (siehe obige Tabelle): 

Bei mehreren gleichen Nullstellen muss immer ein zusätzliches x bei der unabhängigen Lösung berücksichtigt werden. Wir haben hier 3 gleiche Nullstellen, deswegen erhält die zweite Lösung ein x und die dritte Lösung ein x².

Im letzten Schritt erzeugt man aus den lin. unabhängigen Lösungen die Gesamtlösung der Differentialgleichung