Homogene Differenzialgleichungen

Unter den Grundannahmen des vorherigen Textes wenden wir uns jetzt der Lösung der homogenen Differenzialgleichung zu.

Im ersten Schritt stellen wir eine Homogene Differenzialgleichung auf:

Der letzte Term auf der linken Seite wird gekürzt und die homogene Differenzialgleichung wird zu:

Die Lösung dieser Gleichung erfolgt im zweiten Schritt durch den Ansatz:

Setzt man diese Gleichung in die Differenzialgleichung ein, ergibt sich folgende neue Gleichung, die als charakteristische Gleichung des Systems bezeichnet wird:

Für das weitere Vorgehen rufen wir uns ins Gedächtnis, dass nach dem Fundamentalsatz der Algebra gilt:

Nun zerlegen wir die charakteristische Gleichung in Linearfaktoren:

Für die letztendliche Lösung der homogenen Differenzialgleichung müssen wir noch entscheiden, um welche Art von Nullstellen es sich bei der charakteristischen Gleichung handelt:

1. Fall: Die -Nullstellen der charakteristischen Gleichung sind reell und untereinander verschieden:

In diesem Fall hat die homogene Differenzialgleichung die Lösung:

2. Fall: Die -Nullstellen der charakteristischen Gleichung sind reell und gleich:

In diesem Fall hat die homogene Differenzialgleichung die Lösung: