Integrierender Faktor

Der Integrierende Faktor, auch Eulerscher Multiplikator genannt, kommt immer dann zum Einsatz, wenn eine Differentialgleichung nicht exakt ist. Er macht die Differentialgleichung exakt und erlaubt dadurch diese direkt zu integrieren. Der integrierende Faktor ist eine Funktion der Form .

1. Man sieht direkt, dass und ist. 

2. Nun überprüft man ob Exaktheit vorliegt: . Leider ist dies nicht der Fall und es gilt einen integrierenden Faktor zu bestimmen. 

3. Man prüft im nächsten Schritt ob nur von oder nur von abhängt. Die Reihenfolge der Überprüfung ist hierbei unerheblich.

3.1 Wir beginnen mit der Untersuchung ob nur von abhängt:

.

Es stellt sich heraus, dass sich nicht als allein von abhängender Ausdruck schreiben lässt.

Es existiert kein nur von abhängender integrierender Faktor!

3.2 Als nächstes überprüfen wir ob nur von abhängt:

.

Nun stellt sich heraus, dass nur von abhängt. Als integrierenden Faktor erhalten wir somit:

.

4. Abschließend setzen wir in die Differentialgleichung ein:

 | eingesetzt

5. Überprüfung auf Exaktheit durch

Die Differentialgleichung ist nun exakt und kann nun nach dem Verfahren im vorherigen Abschnitt "Exakte Differentialgleichung" gelöst werden.