Exakte Differentialgleichung

Ist eine solche Exakte Differentialgleichung gegeben, dann muss es zu jeder Lösung eine Konstante  geben, so dass die implizite Gleichung

erfüllt ist.

Ihre Stammfunktion ist eine stetig differenzierbare Funktion für die gilt

und

Ist eine solche Funktion gegeben, dann wird diese zunächst auf Exaktheit überprüft:

Das bedeutet jetzt also, dass nach abgeleitet wird, und nach abgeleitet wird. Es müssen sich dann zwei identische Funktionen ergeben.

Wenn die Exaktheitsbedingung stimmt, dann gibt es Potential , so dass

  und  

mit

  |mit als Integrationskonstante, die von abhängig ist.

Anwendungsbeispiel: Exakte Differentialgleichung

1.) Auf Exaktheit überprüfen:

Da, ist die Exaktheitsbedingung erfüllt, d.h. es existiert ein .

2.) Integration

3.) Bestimmung der Integrationskonstanten

Um die Integrationskonstante zu bestimmen, wird nun verwendet. Dazu wird nach abgeleitet und mit gleichgesetzt:

  |Ableitung von nach .

Durch Integration erhalten wir dann :

    | ist Integrationskonstante

4.) Einsetzen und Lösen

Einsetzen von in :

1.) Überprüfung auf Exaktheit

Das bedeutet, dass die Exaktheitsbedingung erfüllt ist, da beide Ableitungen das selber Ergebnis liefern. Es existiert also ein und .

2.) Integration

  | mit als Integrationskonstante die von abhängig ist.

3.) Bestimmung der Integrationskonstante

Um die Integrationskonstante zu bestimmen, wird nun verwendet. Dazu wird nach abgeleitet, mit gleichgesetzt und nach aufgelöst:

Gleichsetzen:  

Durch Integration erhalten wir dann :

4.) Einsetzen und Lösen

  |wird konstant gesetzt, weil es die Konstante ist, die in der Kurvengleichung vorkommt.