Bernoulli Differentialgleichung

Den Anfang macht die Bernoulli Differentialgleichung, welche die Form

besitzt.

Diese Differentialgleichung wird in einem nächsten Schritt durch geteilt bzw. mit multipliziert. Dies führt zu der Form:

Substitution

Durch Substitution lässt sich diese Differentialgleichung in eine lineare Differentialgleichung überführen.

Man substituiert hierzu:

Durch Einsetzen dieser Transformationen in die Bernoulli Differentialgleichung erhält man eine lineare parametrisierte inhomogene Differentialgleichung. 

Anschließend Löst man die Gleichung und substituiert zurück.

Anwendungsbeispiel: Bernoulli Differentialgleichung

1. Man formt zuerst um und erhält mit

mit  eine Bernoulli Differentialgleichung.

2. Als nächstes multipliziert man die Gleichung mit und erhält:

3. Nun Substituiert man

4. Diese setzt man in die Differentialgleichung in 2. ein und erhält:

Das Ganze wird jetzt noch durch geteilt bzw. mit multipliziert, damit alleine steht:

Es handelt sich hierbei um eine inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung.

5. Die zugehörige Lösungsformel (siehe Abschnitt: Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung) ist für

:

  mit  

In diesem Beispiel ist:

                             [ ]

                                                         [Integral auflösen]

.

6. Nun fehlt nur noch die Rücksubstitution von   und man erhält als Lösung:

Mit der obigen Gleichung ist die Überführung einer Bernoulli-Differentialgleichung in eine lineare Differentialgleichung abgeschlossen.