Ricatti Differentialgleichung

Die Riccati Differentialgleichung besitzt die Form

. 

Hierbei ist ein generelles Lösungsverfahren nicht bekannt. Hat man es jedoch geschafft eine spezielle Lösung für zu ermitteln. Lässt sich auch diese Differentialgleichung durch Substitution in eine lineare Differentialgleichung in überführen. 

Substitution

Man substituiert zuerst . Aus dieser Substitution erhält man für  

, 

Für erhält man

Hieraus folgt

. 

Wegen  folgt anschließend

Die Multiplikation mit liefert letztlich mit

eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung. Diese gilt es zu Lösen und zu Rücksubstituieren. 

Auch hier soll ein Beispiel helfen den Transformationsprozess besser zu verstehen.

Anwendungsbeispiel: Ricatti Differentialgleichung

Davon ausgehend, dass mit durch Einsetzen eine spezielle Lösung gefunden wurde, kann die Riccati-Differentialgleichung transformiert werden.

1. Als Substitution erhält man

Daraus folgt: und  

2. Einsetzen in die Riccati Differentialgleichung ergibt 

[Zusammenfassen]

3. Multiplizieren mit liefert

.

4. Nun kann [wie bereits bei der Bernoulli Differentialgleichung verwendet] die Lösungsformel für inhomogene lineare Differentialgleichung angewandt werden.  

[Integral auflösen]

. 

5. Die abschließende Rücksubstitution von liefert die Lösung:

.