Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf

Der Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf kann in zwei Versionen betrachtet werden. Man unterscheidet die lokale von der globalen Version. Die Voraussetzung dieser Versionen ist immer die Stetigkeit der rechten Seite und das Bestehen einer Lipschitz-Bedingung. 

Anwendungsbeispiele: Globale Lipschitzbedingung

Gesucht wird ein reelles mit   für alle  

                          fällt weg

                     kürzen

ist somit nicht auf beschränkt (rechte Seite kann unendlich groß werden), deswegen genügt nicht global der Lipschitzbedingung.

Gesucht wird wieder ein reelles mit   für alle  

und nach oben beschränkt, die Funktion genügt also global der Lipschitzbedingung.

Hier hätte man auch die partielle Ableitung bilden können und hätte direkt gesehen, dass diese beschränkt ist und die Funktion damit einer Lipschitzbedingung genügt.

Anwendungsbeispiele: Lokale Lipschitzbedingung

Es wurde bereits gezeigt, dass diese Funktion einer Lipschitzbedingung nicht global genügt. Genügt sie denn einer lokalen Lipschitzbedingung?

Dazu wird die partielle Ableitung der Funktion nach gebildet und geschaut, ob diese stetig ist (also keine Definitionslücken aufweist):

ist auf stetig (weist keine Definitionslücken auf). Damit ist die Funktion lokal Lipschitzstetig.

Lokaler Eindeutigkeitssatz

Der lokale Eindeutigkeitssatz besagt, dass jedes Anfangswertproblem zu einer Differentialgleichung der Form unter Voraussetzung der Lipschitz-Bedingung innerhalb einer kleinen Umgebung von eindeutig gelöst werden kann. Welche Größe diese Umgebung hat, ist von der rechten Seite von abhängig. 

Globaler Eindeutigkeitssatz

Der globale Eindeutigkeitssatz besagt, dass ein Anfangswertproblem, welches auf einem senkrechten Streifen eine globale Lipschitzbedingung erfüllt , auf dem gesamten Intervall eine eindeutige Lösung besitzt.