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Da eine solche approximierte Potenzreihe immer einen Fehler beinhaltet, soll im folgenden gezeigt werden wie man diesen Fehler abschätzt.
Die Folge
Die Fehlerabschätzung erfolgt, indem wir die Lipschitzkonstante innerhalb eines Intervalls festlegen. Das Intervall muss noch bestimmt werden.
Merke
Das Intervall ist:
Um dies zu berechnen muss als erstes
Berechnung des Intervalls
1. Bestimmung von
In diesem Beispiel ist
2. Nun setzen wir in die Ausgangsfunktion
3. Nun kann
4. Um nun das Maximum für
Demnach ist
5. Als nächstes wird der Grenzwert für
Sowohl der Nenner als auch der Zähler streben in diesem Fall gegen unendlich. Hier ist die Regel von de l'Hospital anzuwenden.
Merke
Erinnerung:
Eine Regel von de l'Hospital besagt:
In diesem Beispiel laufen sowohl Zähler als auch Nenner gegen Unendlich. Es stellt sich noch die Frage ob die Ableitung des Nenners ungleich Null ist, damit die Regel angewandt werden kann:
Die Regel kann also angewandt werden. Das bedeutet, dass nun die Ableitungen von Zähler und Nenner gegen
Der Grenzwert von
Das Iterationsverfahren konvergiert also auf dem Intervall
Berechnung der Lipschitzkonstanten
Auf dem Streifen
Da es sich bei
Fehlerabschätzung
Nachdem nun alle Variablen bestimmt sind, kommt die obige Formel zur Fehlerabschätzung zur Anwendung:
mit
Insgesamt ergibt sich also:
Der ermittelte Fehler von
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