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Nach Abbruch des Iterationsverfahrens von Picard-Lindelöf wird in diesem Abschnitt gezeigt, wie man eine Approximierte Potenzreihe aus der ermittelten Polynomfunktion bildet. Da eine solche approximierte Potenzreihe immer einen Fehler beinhaltet, wird im nächsten Abschnitt gezeigt, wie man diesen Fehler abschätzt.
Approximierte Potenzreihe
Die entstandene Polynomfunktion nach dem 3. Iterationsschritt kann man auch als approximierte Potenzreihe schreiben. Die Polynomfunktion sah wie folgt aus:
$y_3(x) = 1 + x^2 + \frac{1}{2} x^4 + \frac{1}{6} x^6$
Merke
Es gilt: $e^x = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = \frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + ...$
Es wird nun also versucht zur gegeben Polynomfunktion $y_3(x)$ eine entsprechende Potenzreihe zu finden.
Da die Exponenten in 2er Schritten vorliegen, könnte man vermuten:
$\sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{2k}}{k!} $
Überprüfung durch vollständige Induktion mit $k = 0,1,2,3$:
$\sum\limits_{k = 0}^{3} \frac{x^{2k}}{k!} $
$k = 0: \frac{x^{2 \cdot 0}}{0!} = 1$
$k = 1: \frac{x^{2 \cdot 1}}{1!} = x^2$
$k = 2: \frac{x^{2 \cdot 2}}{2!} = \frac{1}{2} x^4$
$k = 3: \frac{x^{2 \cdot 3}}{3!} = \frac{1}{6} x^6$
Die Summe ergibt:
$\sum\limits_{k = 0}^{3} \frac{x^{2k}}{k!} = 1 + x^2 + \frac{1}{2} x^4 + \frac{1}{6} x^6$
Dies ist also die approximierte Lösung des Anfangswertproblems. Allerdings beinhaltet diese Lösung einen Fehler (da nach 3 Iterationen abgebrochen wurde), der abgeschätzt werden muss.
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