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Gewöhnliche Differentialgleichungen > Picard-Lindelöf > Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren:

Approximierte Potenzreihe

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Thermodynamik:
 Am 13.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
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Nach Abbruch des Iterationsverfahrens von Picard-Lindelöf wird in diesem Abschnitt gezeigt, wie man eine approximierte Potenzreihe aus der ermittelten Polynomfunktion bildet. Da eine solche Approximierte Potenzreihe immer einen Fehler beinhaltet, wird im nächsten Abschnitt gezeigt, wie man diesen Fehler abschätzt.

Approximierte Potenzreihe

Die entstandene Polynomfunktion nach dem 3. Iterationsschritt kann man auch als approximierte Potenzreihe schreiben. Die Polynomfunktion sah wie folgt aus:

$y_3(x) = 1 + x^2 + \frac{1}{2} x^4 + \frac{1}{6} x^6$

Merke

Es gilt: $e^x = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = \frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + ...$

Es wird nun also versucht zur gegeben Polynomfunktion $y_3(x)$ eine entsprechende Potenzreihe zu finden. 

Da die Exponenten in 2er Schritten vorliegen, könnte man vermuten:

$\sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{2k}}{k!} $

Überprüfung durch vollständige Induktion mit $k = 0,1,2,3$:

$\sum\limits_{k = 0}^{3} \frac{x^{2k}}{k!}  $

$k = 0: \frac{x^{2 \cdot 0}}{0!} = 1$

$k = 1: \frac{x^{2 \cdot 1}}{1!} = x^2$

$k = 2: \frac{x^{2 \cdot 2}}{2!} = \frac{1}{2} x^4$

$k = 3: \frac{x^{2 \cdot 3}}{3!} = \frac{1}{6} x^6$

Die Summe ergibt:

$\sum\limits_{k = 0}^{3} \frac{x^{2k}}{k!}  = 1 + x^2 + \frac{1}{2} x^4 + \frac{1}{6} x^6$

Dies ist also die approximierte Lösung des Anfangswertproblems. Allerdings beinhaltet diese Lösung einen Fehler (da nach 3 Iterationen abgebrochen wurde), der abgeschätzt werden muss.

Video: Approximierte Potenzreihe

Bestimmung der approximierten Potenzreihe nach Abbruch des Iterationsverfahrens von Picard-Lindelöf.
Bild von Autor Jan Morthorst

Autor: Jan Morthorst

Dieses Dokument Approximierte Potenzreihe ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen.

Jan Morthorst verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche DifferentialgleichungenHöhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen
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