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hat bei (1) ein Maximum. Es handelt sich hierbei um ein globales (absolutes) Maximum, denn das Maximum stellt den höchsten Punkt der Funktion dar. hat bei (2) ein lokales (relatives) Minimum, denn es handelt sich um den tiefsten Punkt in diesem Bereich, allerdings nicht um den tiefsten Punkt der Funktion. hat bei (3) ein lokales (relatives) Maximum. hat bei (4) ein Minimum. Das Minimum bei (4) stellt den tiefsten Punkt der kompletten Funktion dar. Damit handelt es sich hier um ein globales (absolutes) Minimum. hat bei (5) ein lokales (relatives) Maximum.
Merke
Ein Maximum ist immer dann vorhanden, wenn der Graph der Funktion erst steigt (monoton wachsend) und anschließend wieder abfällt (monoton fallend). Ferner entsteht ein Minimum, wenn der Graph der Funktion erst abfällt und dann wieder steigt. Die Steigung an solchen Hoch- und Tiefpunkten ist immer gleich Null:
Extremwerte identifizieren
Ist
Die Betrachtung der 1. Ableitung reicht nicht aus, um zu sagen, ob es sich um Extremwerte handelt. Wechselt die 1. Ableitung ihre Vorzeichen an der Stelle
- Das einfachste Verfahren um herauszufinden ob es sich um eine Extremstelle an dem Punkt
handelt ist es also, einige Funktionswerte vor und nach dem Punkt auszurechnen und miteinander zu vergleichen. - Eine weitere Möglichkeit ist die Betrachtung der 2. Ableitung. Ist
, dann liegt ein Minimum vor (weil die Funktion nach einem Minimum monoton wächst). Ist , dann liegt Maximum vor (weil die Funktion nach einem Maximum monoton fällt). Ist f´´(x) = 0, kann es sich um Extremwerte oder Sattelpunkte handeln. Hier muss solange eine Ableitung durchgeführt werden bis . Ist bei der -Ableitung gerade, so liegt ein Extrempunkt vor, ist ungerade so liegt ein Horizontalwendepunkt vor.
Methode
Extremstellen berechnen
Extremwerte sind nur vorhanden, wenn
(1)
(2)
Vorgehensweise
(1) kritische Punkte:
(a) Untersuchung der kritischen Punkte ohne höhere Ableitung:
(a1) Nullstellen der 1. Ableitung bestimmen:
(a2) Werte > und <
- wechselt
- wechselt
von + nach -, so liegt bei ein lokales (relatives) Maximum vor - wechselt
von - nach +, so liegt bei ein lokales (relatives) Minimum vor
(b) Untersuchung der kritischen Punkte mit höherer Ableitung
(b1) Nullstellen der 1. Ableitung bestimmen:
(b2) Die gefundenen kritischen Punkte
: es liegt ein lokales (relatives) Minimum vor. : es liegt ein lokales (relatives) Maximum vor. : Es könnte ein Extrempunkt vorliegen, allerdings ebenfalls ein Sattelpunkt.
Ergibt die 2. Ableitung gleich Null, dann werden solange weitere Ableitungen
gerade: Extremwert bei (Minimum) und (Maximum) ungerade: Horizontalwendepunkt bei .
(2) Nicht differenzierbare Punkte, z.B. Randpunkte müssen extra betrachtet werden und z.B. der Größe nach verglichen werden.
Beispiel
Gegeben sei die Funktion:
Extremwerte möglich bei
(1)
(2) Randpunkte:
Prüfen
(a) ohne höhere Ableitung:
(b) mit höherer Ableitung
(2) Globales Maximum und Minimum
Merke
Satz von Weierstraß: Jede auf einem kompakten Intervall
Da
Es werden zum einen die bereits ermittelten Extremwerte
Die Randpunkte stellen globale Extrempunkte dar. Bei
Die folgende Grafik zeigt die Funktion
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