Nullstellen ganzrationaler Funktionen

Allgemein versteht man unter einer Nullstelle einer Funktion diejenige Zahl , für die gilt. Grafisch sieht dies folgendermaßen aus.

Dort, wo der Graph der Funktion die -Achse schneidet, liegen die Nullstellen von .  

Für lineare Funktionen und quadratische Funktionen ist die Berechnung der Nullstellen anhand von Lösungsformeln möglich. Für ganzrationale Funktionen mit hingegen, stehen im Allgemeinen keine Lösungsformeln zur Verfügung. Es existieren allerdings einige Sonderfälle.

Berechnung der Nullstellen bei linearen Funktionen

Gegeben sei die Funktion . Zur Berechnung der Nullstelle wird die Funktion gleich null gesetzt und nach aufgelöst:

Der Graph der Funktion  schneidet die -Achse bei .

Berechnung der Nullstellen bei quadratischen Funktionen

Gegeben sei die Funktion . Zur Berechnung der Nullstelle wenden wir die pq-Formel an:

Mit und folgt:

Der Graph der Funktion  schneidet die -Achse bei und .

Sonderfälle für Funktionen mit Exponenten > 2

Ausklammern von Potenzen

Gegeben sei die Funktion . Durch Ausklammern von erhalten wir:

Nullsetzen ergibt:

bzw. und

Die erste Nullstelle ist also:

Für ergeben sich mit der pq-Formel die weiteren Lösungen:

Substitution von Potenzen

Gegeben sei die Funktion . Durch Ersetzen von durch erhalten wir:

Wir wenden die pq-Formel an und erhalten für :

Wir machen die Substitution rückgangig und erhalten mit :

und

Funktionen mit ganzzahligen Koeffizienten (Polynomdivision)

Ist eine Funktion mit ganzzahligen Koeffizienten (alle ), dann gilt:

(1) Jede ganzzahlige Nullstelle ist ein Teiler von .

Ist der Hauptkoeffizient , so gilt:

(2) Jede rationale Nullstelle ist eine ganze Zahl und zwar ein Teiler von .

Zum Auffinden der Nullstellen gehen wir wie folgt vor:

Dieses Vorgehen zeigen wir dir anhand des nachfolgenden Beispiels:

(1) Funktion durch teilen, falls . Hier ist .

(2) Die Teiler von (hier: ) sind und . Probieren, d. h. Einsetzen von z. B. zeigt, dass . Das heißt ist eine Nullstelle der Funktion.

(3) Polynomdivision durchführen:

Da , dividieren wir durch .

_________________

______________

Das Ergebnis    hat keine reelle Nullstelle, da (Wurzel aus negativer Zahl in nicht möglich). Das beudeutet, ist die einzige reelle Nullstelle. 

Würde sich nach der Division eine Funktion ergeben, welche noch Nullstellen besitzt, dann müsste für diese mithilfe des oben genannten Vorgehens (pq-Formel, Substitution, Ausklammern etc.) weitere Nullstellen bestimmt werden.