Mittelwertsätze

Genauer gilt:

Ist die Funktion auf dem abgeschlossenen Intervall stetig und auf dem offenen Intervall differenzierbar, dann gibt es (wenigstens) einen inneren Punkt mit

.

Zunächst wird die Sekante bestimmt, welchen durch die beiden Punkten verläuft, die auf dem Funktionsgraphen liegen:

Sekantengleichung:

bestimmen:

bestimmen mit Punkt    oder Punkt  :

Punkt  :

Bestimmung der Tangente, welchen durch den Punkt auf dem Funktionsgraphen verläuft und dieselbe Steigung wie die Senkante aufweist:

Zunächst wird der Punkt bestimmt, durch welchen die Tangente verläuft. Hierzu wird die Steigung der Funktion mit der ersten Ableitung ermittelt:

. 

Es kann nun mittels der folgenden Gleichung der Punkt ermittelt werden, durch welchen die Tangente verläuft:

Der Punkt mit dem Funktionswert liegt auf dem Funktionsgraphen. Durch diesen Punkt verläuft die Tangente, welche dieselbe Steigung wie die Sekante aufweist. 

Der nächste Schritt ist dann die Tangentenbestimmung:

Ist in differenzierbar, dann lautet die Tangente, die den Graph im Punkt schneidet:

.

Die Tangente die durch den oben ermittelte Punkt geht lautet:

Anwendungsbeispiel zu Mittelwertsätze

Sekantengleichung

bestimmen:

bestimmen mit Punkt    oder Punkt  :

Punkt  :

Schnittpunkt Tangente und Funktionsgraph

Die Steigung der Funktion ist . Zu ermitteln ist nun der Punkt , welcher die gleiche Steigung aufweist, wie die Sekante, die durch die Punkte und geht:

Der Punkt mit dem Funktionswert hat die selbe Steigung wie die Sekante, welche durch die Punkte und geht.

Tangentengleichung

In der obigen Grafik ist deutlich zu erkennen, dass die Tangente (rechts in der Grafik) genau die gleiche Steigung aufweits, wie die Sekante (links in der Grafik).