Die Grenzwerteganzrationaler Funktionen für sind sowie und werden im Allgemeinen durch den Summanden mit dem höchsten Exponenten bestimmt. Das genaue Verhalten hängt davon ab, ob der Gradeiner Funktion gerade oder ungerade ist und welches Vorzeichen der Leitkoeffizient besitzt.
Verhalten im Unendlichen
Überblick zu den Grenzwerten ganzrationaler Funktionen
Für kann man den Summanden mit dem höchsten Exponenten ausklammern. In diesem Fall klammern wir aus:
bzw. gekürzt:
In der Klammer werden die Glieder mit den Brüchen für unendlich klein. Der Grenzwert resultiert:
Da nun der Ausdruck in der Klammer gegen strebt, können wir auch sagen:
Merke
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Die Funktion verhält sich im Unendlichen wie ihr Summand mit dem höchsten Exponenten vorgibt.
Beispiel: Grenzwerte
Beispiel
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Zeige, dass der Graph der Funktion für verläuft wie der Graph der Funktion !
Für :
(1):
Daraus folgt für :
(2):
Daraus folgt für :
Für :
(1):
Daraus folgt für :
(2):
Daraus folgt für :
Verhalten für x gegen null
Allgemein wird das Verhalten für durch den Koeffizienten mit dem niedrigsten Exponenten bestimmt. Der Graph schneidet die y-Achse bei . Die Steigung an dieser Stelle ist durch gegeben. Die Tangente im Schnittpunkt mit der y-Achse hat also stets die Gleichung .
Beispiel
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Zeige, dass der Graph der Funktion für den gleichen Verlauf wie der Graph der Funktion besitzt!
:
Die Graphen beider Funktionen schneiden die y-Achse bei . Die Steigung hat dort den Wert .
Merke
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Bei ganzrationalen Funktionen entscheidet der Koeffizient mit dem höchsten Exponent über das Verhalten der Funktion im Unendlichen.
Der Koeffizient mit dem niedrigsten Exponenten entscheidet über das Verhalten der Funktion gegen null.
