Inhaltsverzeichnis
Wie schon mehrmals erwähnt ist eine hebbare Definitionslücke gegeben, wenn sowohl der Nenner als auch der Zähler für einen bestimmten Wert für
Methode
Vorgehensweise:
- Nullstellen des Nenners bestimmen.
- Nullstellen des Zählers bestimmen: Resultiert dieselbe Nullstelle wie im Nenner, liegt eine mögliche hebbare Definitionslücke vor.
- Zähler und Nenner faktorisieren und den Bruch kürzen.
- Gemeinsame Nullstelle aus 2. in den Nenner der gekürzten faktorisierten Funktion aus 3. einsetzen. Wird der Nenner ungleich null, so liegt eine hebbare Definitionslücke vor. Wird der Nenner hingegen null, so liegt eine Polstelle vor.
In 4. muss nochmals überprüft werden, ob eine hebbare Definitionslücke vorliegt. Dafür wird der bei 2. ermittelte Wert (falls hebbare Lücke) in den Nenner eingesetzt.
- Wird der faktorisierte Nenner ebenfalls null, resultiert eine Defintionslücke. Somit liegt eine Polstelle vor.
- Wird der Nenner
, liegt eine hebbare Lücke vor.
Beispiel: Hebbare Definitionslücke
Beispiel
Gegeben sei die Funktion
Prüfe, ob eine hebbare Definitionslücke vorliegt und behebe diese gegebenenfalls!
1. Nullstellen des Nenners bestimmen
Methode
pq-Formel:
2. Nullstellen des Zählers bestimmen
Methode
Mitternachtsformel:
alternativer Rechenweg:
Methode
pq-Formel:
Dafür muss zunächst der Koeffizient von
mit
Anwendung der pq-Formel:
Hinweis
Für
3. Zähler und Nenner faktorisieren
Zum Faktorisieren werden die Zähler- und Nennernullstellen herangezogen. Die Faktordarstellung ist allgemein gegeben zu:
Methode
Faktordarstellung:
Dabei sind
Zähler faktorisieren:
Wir haben die Nullstellen
Nenner faktorisieren:
Wir haben die Nullstellen
Insgesamt ergibt sich also die faktorisierte Funktion zu:
Wir können den Bruch kürzen:
Methode
gekürzte faktorisierte Funktion:
4. Erneut auf hebbare Lücke überprüfen
Die ermittelte mögliche hebbare Lücke lag bei
Merke
Der Nenner wird ungleich null, demnach liegt hier eine hebbare Definitionslücke vor.
5. Definitionsbereich erweitern
Der Definitionsbereich der Funktion kann dann wie folgt erweitert werden:
Einsetzen der hebbare Lücke
In der nachfolgenden Grafik ist die Funktion sowie die Nullstelle der Funktion bei
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