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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Partialbruchzerlegung (rationale Zahlen) bei unbestimmten Integralen

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Partialbruchzerlegung (rationale Zahlen) bei unbestimmten Integralen

Um gebrochen-rationale Funktionen zu integrieren, bedarf es  der Zerlegung in eine Summe von Partialbrüchen. Man versucht durch die Zerlegung eine Reihe einfacher Brüche zu erhalten, deren Integration bekannt und einfach durchführbar ist.

Methode

Hier klicken zum AusklappenAuch hierbei kann man sich an eine vorgegebene Reihenfolge halten:

I. Durchdividieren
II. Nullstellen des Nenners bestimmen
III. Ansatz der Partialbrüche
IV. Bestimmung der Koeffizienten
V. Integration

Beispiel

Hier klicken zum AusklappenIntegriere

I. Durchdividieren



Für besteht keine Schwierigkeit, allerdings kann der Bruch vereinfacht dargestellt werden:

II. Nullstellen des Nenners bestimmen



III. Ansatz der Partialbrüche

.

IV. Bestimmung der Koeffizienten

Hierbei muss man die neuen Zähler A und B bestimmen. Es empfiehlt sich die "Zuhaltemethode".

Für A: Multipliziere beide Seiten der Gleichung in III. mit   und kürze.

.

Setzt man nun    [Nullstelle von ] so erhält man:

 

Für B:  Multipliziere beide Seiten der Gleichung in III. mit  und setze    ein. Man erhält: 



Es ergibt sich:

 

    

V. Integration





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